Задача 80840 Касательная к окружности...
Условие
Решение
1) tg KOL = KL/OK
∠ KOL = 60°, OK = 6
KL = OK*tg 60° = 6*sqrt(3)
2) sin NMO = ON/OM = 9/18 = 1/2
∠ NMO = 30°
∠ NMK = 2* ∠ NMO = 2*30° = 60°
3) OA = OB = AB, треугольник AOB - равносторонний.
∠ OAB = 60°, ∠ OAC = 90°
∠ BAC = ∠ OAC - ∠ OAB = 90° - 60° = 30°
4) Как и в 3), треугольник AOB - равносторонний.
∠ MAB = 30°, но ∠ MBA = 30° тоже.
∠ AMB = 180° - ∠ MAB - ∠ MBA = 180° - 30° - 30° = 120°
5) По теореме Пифагора
MN = sqrt(ON^2 - OM^2) = sqrt(15^2 - 12^2) = sqrt(225 - 144) = sqrt(81) = 9
6) Две касательные из одной точки, имеют одинаковую длину до точек касания.
MK = NK
∠ MON = 120°, ∠ MOK = 1/2* ∠ MON = 1/2*120° = 60°
OK = 6
MK = OK*sin MOK = 6*sin 60° = 6*sqrt(3)/2 = 3*sqrt(3)
NK = MK = 3*sqrt(3)
7) ∠ ACB = 90°, AB = 25, CD = 12
AE = AD = R
DB = AB - AD = 25 - R
AC = AE + EC = R + x
По теореме Пифагора
{ AD^2 + CD^2 = AC^2
{ CD^2 + DB^2 = BC^2
{ AC^2 + BC^2 = AB^2
Подставляем известные и неизвестные данные:
{ R^2 + 12^2 = (R + x)^2
{ 12^2 + (25 - R)^2 = BC^2
{ (R + x)^2 + BC^2 = 25^2
(R + x)^2 подставляем из 1 уравнения в 3 уравнение,
BC^2 подставляем из 2 уравнения в 3 уравнение:
R^2 + 144 + 144 + (25 - R)^2 = 625
Раскрываем скобки:
R^2 + 2*144 + 625 - 50*R + R^2 = 625
Приводим подобные:
2R^2 + 2*144 - 50R = 0
Делим на 2:
R^2 - 25R + 144 = 0
D = (-25)^2 - 4*1*144 = 625 - 576 = 49 = 7^2
R1 = (25 - 7)/2 = 18/2 = 9 - не может быть, слишком маленький.
R2 = (25 + 7)/2 = 32/2 = 16 - подходит.
AE = 16
Это самая сложная задача из всех.
8) Точку пересечения отрезка OM с окружностью обозначим C.
OA = OB = OC = R
OM = 2*R
В прямоугольном треугольнике OBM катет OB равен половине гипотенузы.
Значит, ∠ OMB = 30°
∠ AMB = 2* ∠ OMB = 2*30° = 60°