Задача 80834 |х|+log4(у^2+1)=2 и log2(х+2а)+2|у|=2...
Условие
Решение
Так как |x| ≥ 0 и |y| ≥ 0
[m]\left\{\begin {matrix}2-log_{4}(y^2+1) ≥0 \\1-log_{4}(x+2a) ≥ 0\end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}log_{4}(y^2+1) ≤ 2 \\log_{4}(x+2a) ≤ 1\end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}y^2+1 ≤ 16 \\log_{4}(x+2a) ≤ 1\end {matrix}\right.[/m]
Так как [m]y^2 ≤ 15[/m] ⇒ [m]|y| ≤ \sqrt{15}[/m] ⇒ тогда [m]1-log_{4}(x+2a) ≤ \sqrt{15}[/m] ⇒ [m]log_{4}(x+2a) ≥ 1- \sqrt{15}[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}y^2 ≤ 15 \\1-\sqrt{15} ≤ log_{4}(x+2a) ≤ 1\end {matrix}\right.[/m]
Так как [m]1 ≤ y^2+1≤ 16[/m], то [m] log_{4}1≤ log_{4}(y^2+1) ≤log_{4}16[/m] ⇒ [m]0 ≤ log_{4}(y^2+1) ≤ 2[/m] ⇒
[m]|x|=2-log_{4}(y^2+1) [/m] и тогда [m]0 ≤ |x| ≤ 2[/m] ⇒[red] [m]-2 ≤ x ≤ 2[/m][/red]
Исследуем на указанных промежутках и строим графики логарифмических функций
1)[m]x=2-log_{4}(y^2+1)[/m]
[b]Производная в помощь[/b] (!!!)
Затем учитывая , что[red] [m]-2 ≤ x ≤ 2[/m][/red]
[m]|x|=2-log_{4}(y^2+1)[/m] строим ( [b]схематически [/b]) график этой функции по модулю... получим график ( см. рис. 2)
То же самое
с функцией
[m]|y|=1-log_{4}(x+2a)[/m]
только при разных значениях а
а=1
а=-1
и тд. понимаем как "бегает" кривая по оси Ох
Из графических соображений понимаем, что единственная общая точка
при x=-2; y=0
значит
[m]|0|=1-log_{4}(-2+2a)[/m]
-2+2а=4
2а=6
a=3
Важно!
Один график не изменяется, а вторая кривая двигается влево - вправо...
Все решения
|x| + \log_4 (y^2+1) = 2 \\
\log_2 (x + 2a) + 2|y| = 2 \\
\end{cases}[/m]
Переведем логарифм по осн. 2 в логарифм по осн. 4:
[m]\begin{cases}
|x| + \log_4 (y^2+1) = 2 \\
2\log_4 (x + 2a) + 2|y| = 2 \\
\end{cases}[/m]
2 уравнение делим на 2:
[m]\begin{cases}
|x| + \log_4 (y^2+1) = 2 \\
\log_4 (x + 2a) + |y| = 1 \\
\end{cases}[/m]
Выделяем логарифмы:
[m]\begin{cases}
\log_4 (y^2+1) = 2 - |x| \\
\log_4 (x + 2a) = 1 - |y|\\
\end{cases}[/m]
По определению логарифма:
[m]\begin{cases}
y^2 + 1 = 4^{2 - |x|} \\
x + 2a = 4^{1 - |y|} \\
\end{cases}[/m]
В общем, я не знаю, как такое решать аналитически,
поэтому решил графически. Смотрите Рис. 1
График второй функции от изменения а плавает налево и направо.
Чем больше а, тем график левее.
Как видим, только при [b]а = 3[/b] решение одно:
x = -2; y = 0
При увеличении а график сдвигается влево и контакт теряется.
А при уменьшении а график сдвигается вправо и будет
2, 3 или даже 4 решения.
При значении а примерно -0,34 будет последний раз 2 решения, смотрите Рис. 2.
А при дальнейшем уменьшении значения а контакт теряется.
Ответ: а = 3
