Задача 80822 Вычислить площадь фигуры, ограниченной...
Условие
Решение
1. Уточняем граничные линии
• y = x² + 1 – ветвь параболы, вершина (0;1).
• y = 0 – ось ОХ.
• x = –1 и x = 2 – две вертикали.
2. Изображаем (словесный чертёж)
– На вертикали x = –1 парабола даёт точку А(–1;2), на x = 2 – точку B(2;5).
– На оси ОХ точки С(–1;0) и D(2;0).
– Замкнутая фигура — криволинейная трапеция ABCD, расположена над осью ОХ между x = –1 и x = 2 и под графиком y = x² + 1.
3. Площадь S считаем интегралом разности «верхней» и «нижней» функций
верхняя нижняя
S = ∫_{x=-1}^{2} ( (x²+1) – 0 ) dx
= ∫_{-1}^{2} (x² + 1) dx
= [x³/3 + x]_{-1}^{2}
= ( 2³/3 + 2 ) – ( (-1)³/3 + (-1) )
= ( 8/3 + 2 ) – (-1/3 – 1 )
= 14/3 – (-4/3)
= 18/3
= 6.
Ответ: S = 6 квадратных единиц.
(На графике заштрихована область над осью ОХ, ограниченная параболой y = x² + 1 слева вертикалью x = –1 и справа вертикалью x = 2.)