Задача 80763 Помогите решить по алгебре(с 5 по 10)...
Условие
Решение
[b]5.[/b] [m]\large \frac{4}{|x+1|-2} ≥ |x - 1|[/m]
Рассмотрим разные значения x.
а) При x < -1 будет |x + 1| = -x - 1; |x - 1| = 1 - x
[m]\large \frac{4}{-x-1-2} ≥ 1-x[/m]
[m]\large \frac{4}{-x-3} - 1 + x ≥ 0[/m]
[m]\large \frac{4 + (x - 1)(-x - 3)}{-x-3} ≥ 0[/m]
[m]\large \frac{4 - x^2 - 2x + 3}{-x-3} ≥ 0[/m]
[m]\large \frac{- x^2 - 2x + 7}{-x-3} ≥ 0[/m]
[m]\large \frac{x^2 + 2x - 7}{x+3} ≥ 0[/m]
Раскладываем на множители числитель:
x^2 + 2x - 7 = 0
D = 2^2 - 4*1(-7) = 4 + 28 = 32 = (4sqrt(2))^2
x1 = (-2 - 4sqrt(2))/2 = -1 - 2sqrt(2) ≈ -3,8
x2 = (-2 + 4sqrt(2))/2 = -1 + 2sqrt(2) ≈ 1,8
Так как неравенство нестрогое, получаем промежутки:
(-oo; -1 - 2sqrt(2)]; [-1 - 2sqrt(2); -3); (-3; -1 + 2sqrt(2)]; [-1 + 2sqrt(2); +oo)
По методу интервалов находим:
x ∈ [-1 - 2sqrt(2); -3) U [-1 + 2sqrt(2); +oo)
При условии x < -1 получаем:
x1 ∈ [-1 - 2sqrt(2); -3)
б) При x ∈ [-1; 1) будет |x + 1| = x + 1; |x - 1| = 1 - x
[m]\large \frac{4}{x+1-2} ≥ 1-x[/m]
[m]\large \frac{4}{x-1} -1 + x ≥ 0[/m]
[m]\large \frac{4 + (x-1)(x-1)}{x-1} ≥ 0[/m]
[m]\large \frac{4 + x^2 - 2x + 1}{x-1} ≥ 0[/m]
[m]\large \frac{x^2 - 2x + 5}{x-1} ≥ 0[/m]
Заметим, что числитель строго больше 0 при любом x, поэтому
x - 1 > 0
x > 1
Но у нас по условию x ∈ [-1; 1), поэтому решений нет.
в) При x ≥ 1 будет |x + 1| = x + 1; |x - 1| = x - 1
[m]\large \frac{4}{x+1-2} ≥ x - 1[/m]
[m]\large \frac{4}{x-1} - x + 1 ≥ 0[/m]
Так как в знаменателе оказалось x - 1, то x ≠ 1, значит, x > 1.
[m]\large \frac{4 + (1 - x)(x - 1)}{x-1} ≥ 0[/m]
[m]\large \frac{4 - x^2 + 2x - 1}{x-1} ≥ 0[/m]
[m]\large \frac{- x^2 + 2x +3}{x-1} ≥ 0[/m]
[m]\large -\frac{x^2 - 2x - 3}{x-1} ≥ 0[/m]
[m]\large \frac{(x + 1)(x - 3)}{x-1} ≤ 0[/m]
По условию x > 1, поэтому x + 1 > 0, x - 1 > 0, остается:
x - 3 ≤ 0
Решение: x2 ∈ (1; 3]
Ответ: x ∈ [-1 - 2sqrt(2); -3) U (1; 3]
[b]6.[/b] [m]\large \frac{7 - 3x + \sqrt{x^2+3x-4}}{x-3} < -1[/m]
Область определения функции корня:
x^2 + 3x - 4 ≥ 0
(x + 4)(x - 1) ≥ 0
x ∈ (-oo; -4] U [1; +oo)
Решаем неравенство:
[m]\large \frac{7 - 3x + \sqrt{x^2+3x-4}}{x-3} + 1 < 0[/m]
[m]\large \frac{7 - 3x + \sqrt{x^2+3x-4} + x - 3}{x-3} < 0[/m]
[m]\large \frac{4 - 2x + \sqrt{x^2+3x-4}}{x-3} < 0[/m]
а) При x < 3 будет x - 3 < 0, тогда:
[m]4 - 2x + \sqrt{x^2+3x-4} > 0[/m]
[m]\sqrt{x^2+3x-4} > 2x - 4[/m]
Корень арифметический, то есть неотрицательный, поэтому:
Если 2x - 4 < 0, то есть x < 2, то:
sqrt(x^2+3x-4) > 0
x1 ∈ (-oo; -4] U [1; 2)
Если 2x - 4 ≥ 0, то есть x ∈ [2; 3), то возводим обе части в квадрат:
x^2 + 3x - 4 > 4x^2 - 16x + 16
3x^2 - 19x + 20 < 0
D = (-19)^2 - 4*3*20 = 361 - 240 = 121 = 11^2
x1 = (19 - 11)/6 = 8/6 = 4/3
x2 = (19 + 11)/6 = 30/6 = 5
(3x - 4)(x - 5) < 0
x ∈ (4/3; 5)
С учетом условия x ∈ [2; 3)
x2 ∈ [2; 3)
Итого по двум вариантам:
x ∈ (-oo; -4] U [1; 3)
б) При x > 3 будет x - 3 > 0, тогда:
[m]4 - 2x + \sqrt{x^2+3x-4} < 0[/m]
[m]\sqrt{x^2+3x-4} < 2x - 4[/m]
Так как здесь x > 3, то 2x - 4 > 0, возводим в квадрат:
x^2+3x-4 < 4x^2 - 16x + 16
3x^2 - 19x + 20 > 0
x ∈ (-oo; 4/3) U (5; +oo)
При условии x > 3 получаем:
x3 ∈ (5; +oo)
Ответ: x ∈ (-oo; -4] U [1; 3) U (5; +oo)
[b]7.[/b] [m]\sqrt{4-x + 4\sqrt{-x}} = 4 - \sqrt{4-x - 4\sqrt{-x}}[/m]
Эту задачу я решил неправильно.
Правильно решила Ромашка, спасибо ей большое.
Решение смотрите в комментариях.
Ответ: x ∈ [-4; 0]
[b]8.[/b] [m]\large \frac{1}{\sqrt{7-x}} - \frac{1}{\sqrt{2x+4}} > \frac{3}{\sqrt{28+10x-2x^2}}[/m]
Область определения функции корня:
{ 7 - x > 0
{ 2x + 4 > 0
Решаем:
{ x < 7
{ x > -2
x ∈ (-2; 7)
Заметим, что [m]\sqrt{28+10x-2x^2} = \sqrt{(7-x)(2x+4)} = \sqrt{7-x} \cdot \sqrt{2x+4}[/m]
Приводим дроби к общему знаменателю:
[m]\large \frac{\sqrt{2x+4}}{\sqrt{(7-x)(2x+4)}} - \frac{\sqrt{7-x}}{\sqrt{(2x+4)(7 - x)}} > \frac{3}{\sqrt{(7-x)(2x+4)}}[/m]
Знаменатели одинаковые и при том положительные, можно их убрать.
[m]\sqrt{2x+4} - \sqrt{7-x} > 3[/m]
[m]\sqrt{2x+4} > 3 + \sqrt{7-x}[/m]
Обе части неотрицательны, возводим их в квадрат:
2x + 4 > 9 + 6sqrt(7 - x) + 7 - x
2x + 4 - 9 - 7 + x > 6sqrt(7 - x)
6sqrt(7 - x) < 3x - 12
Делим обе части на 3:
2sqrt(7 - x) < x - 4
При x < 4 получается, что корень меньше отрицательного числа. Но корень неотрицательный по определению, поэтому решений нет.
Значит, x ≥ 4. С учетом условия x ∈ (-2; 7) получаем: x ∈ [4; 7)
Возводим опять обе части в квадрат.
4(7 - x) < (x - 4)^2
28 - 4x < x^2 - 8x + 16
x^2 - 4x - 12 > 0
(x - 6)(x + 2) > 0
x ∈ (-oo; -2) U (6; +oo)
С учетом условия x ∈ [4; 7) получаем:
Ответ: x ∈ (6; 7)
[b]9.[/b] [m]5 \cdot |3 - \sqrt{12-x}| > 1 - x[/m]
Область определения для функции корня:
{ 12 - x ≥ 0
Решаем:
{ x ≤ 12
x ∈ (-oo; 12]
Заметим, что если x > 1, то справа число отрицательное, а слева неотрицательное.
Это неравенство будет верно при любом x.
x1 ∈ (1; 12].
Если же x ≤ 1, то найдем знак выражения под модулем:
12 - x ≥ 11
3 - sqrt(12 - x) ≤ 3 - sqrt(11) = sqrt(9) - sqrt(11) < 0
Значит, [m]|3 - \sqrt{12-x}| = \sqrt{12-x} - 3[/m]
[m]5(\sqrt{12-x} - 3) > 1 - x[/m]
[m]5\sqrt{12-x} - 15 > 1 - x[/m]
[m]5\sqrt{12-x} > 16 - x[/m]
Возводим в квадрат левую и правую части:
25(12 - x) > 256 - 32x + x^2
x^2 - 32x + 256 + 25x - 300 < 0
x^2 - 7x - 44 < 0
(x - 11)(x + 4) < 0
x ∈ (-4; 11)
С учетом условия x ≤ 1 получаем:
x2 ∈ (-4; 1]
Итого по двум промежуткам: x ∈ (-4; 1] U (1; 12]
Ответ: x ∈ (-4; 12]
[b]10.[/b] [m]\sqrt{x-3} + \sqrt{x+3} = x + \sqrt{x^2-9} - 4[/m]
Область определения для функции корня:
{ x + 3 ≥ 0
{ x - 3 ≥ 0
x ≥ 3
Заметим, что [m]\sqrt{x^2 - 9} = \sqrt{(x - 3)(x + 3)} = \sqrt{x - 3} \cdot \sqrt{x+3}[/m]
Перепишем уравнение так:
[m]\sqrt{x-3} + \sqrt{x+3} = \sqrt{x^2-9} + x - 4[/m]
Возводим в квадрат левую и правую части.
[m]x - 3 + x + 3 + 2\sqrt{x^2-9} = x^2-9 + (x - 4)^2 + 2\sqrt{x^2-9}(x-4)[/m]
Выделяем корень:
[m]2x - x^2 + 9 - (x^2 - 8x + 16) = 2\sqrt{x^2-9}(x - 4 - 1)[/m]
Поставим корень слева:
[m]2\sqrt{x^2-9}(x - 5) = -2x^2 + 10x - 7[/m]
Возводим опять в квадрат обе части:
4(x^2 - 9)(x^2 - 10x + 25) = (-2x^2 + 10x - 7)^2
4(x^4 - 9x^2 - 10x^3 + 90x + 25x^2 - 225) =
= 4x^4 + 100x^2 + 49 - 40x^3 + 28x^2 - 140x
4x^4 - 40x^3 + 64x^2 + 360x - 900 = 4x^4 - 40x^3 + 128x^2 - 140x + 49
64x^2 - 500x + 949 = 0
D/4 = 250^2 - 64*949 = 62500 - 60736 = 1764 = 42^2
x1 = (250 - 42)/64 = 208/64 = 13/4 = 3,25
x2 = (250 + 42)/64 = 292/64 = 73/16 = 4,5625
Проверяем корни.
x1 = 13/4 = 3,25.
Левая часть: [m]2\sqrt{3,25^2-9}(3,25 - 5) = 2\sqrt{1,5625}(-1,75) = -4,375< 0[/m]
Правая часть: [m]-2 \cdot 3,25^2 + 10 \cdot 3,25 - 7 = -21,125+32,5-7 = 4,375> 0[/m]
Части имеют разные знаки, значит, это лишний корень.
x2 = 73/16 = 4,5625
Левая часть: [m]2\sqrt{4,5625^2-9}(4,5625 - 5) = 2\sqrt{11,8164}(-0,4375) = -3 < 0[/m]
Правая часть: [m]-2 \cdot 4,5625^2 + 10 \cdot 4,5625 - 7 = -41,6328+45,625-7 = -3 < 0[/m]
Части одинаковые, значит, это настоящий корень.
Ответ: x = 73/16