Задача 80760 реши...
Условие
Решение
[m]\large y(x) = \frac{2x^2-3x}{x-2}[/m]
Схема исследования функции:
1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
x ≠ 2
[b]x ∈ (-oo; 2) U (2; +oo)[/b]
В точке x = 2 неустранимый разрыв 2 рода - уход в бесконеч-ность.
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Вертикальная асимптота [b]x = 2[/b].
3. Найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства.
[m]\large y(0) = \frac{2 \cdot 0-3 \cdot 0}{0-2} = 0[/m] - точка пересечения с осями Ox и Oy.
Точки пересечения с осью Ox:
[m]\frac{2x^2-3x}{x-2} = 0[/m]
2x^2 - 3x = 0
x(2x - 3) = 0
[b]x1 = 0; x2 = 3/2[/b]
4. Определить, является ли функция чётной или нечётной.
[m]\large y(-x) = \frac{2(-x)^2-3(-x)}{-x-2} = \frac{2x^2+3x}{-x-2}[/m]
y(-x) ≠ y(x); y(-x) ≠ -y(x)
Не четная и не нечетная.
5. Определить, является ли функция периодической.
Не периодическая.
6. Найти точки экстремума и интервалы возрастания-убывания.
Точки экстремума - это точки, в которых y' = 0 или не существует.
[m]\large y'(x) = \frac{(4x-3)(x-2) - (2x^2 - 3x) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{2x^2-8x+6}{(x-2)^2} = 0[/m]
2x^2 - 8x + 6 = 0
x^2 - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
[b]x1 = 1; x2 = 3[/b]
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Точки перегиба - это точки, в которых y'' = 0 или не существует.
[m]\large y''(x) = \Big ( \frac{2x^2-8x+6}{(x-2)^2} \Big )'= \frac{(4x-8)(x-2)^2 - (2x^2-8x+6) \cdot 2(x-2)}{(x-2)^4} = 0[/m]
[m]\large y''(x) = \frac{(4x-8)(x-2) - 2(2x^2-8x+6)}{(x-2)^3}= 0[/m]
[m]\large y''(x) = \frac{4x^2-8x-8x+16 - 4x^2+16x-12}{(x-2)^3} = 0[/m]
[m]\large y''(x) = \frac{4}{(x-2)^3} = 0[/m]
Эта дробь не равна 0 ни при каком x из области определения.
Но есть еще точка разрыва, в которой y'' не существует.
При x < 2 будет y''(x) < 0 - график выпуклый (выпуклый вверх).
При x > 2 будет y''(x) > 0 - график вогнутый (выпуклый вниз).
8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
Наклонные асимптоты - это прямые вида f(x) = kx + b, где:
[m]k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{2x^2-3x}{x^2-2x} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{2 - 3/x}{1 - 2/x} = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2[/m]
[m]b = \lim \limits_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim \limits_{x \to \infty} \Big ( \frac{2x^2-3x}{x-2} - 2x\Big ) = [/m]
[m]= \lim \limits_{x \to \infty} \frac{2x^2-3x - 2x(x-2)}{x-2} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{2x^2-3x - 2x^2 + 4x}{x-2} =[/m]
[m]= \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-3x + 4x}{x-2} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x}{x-2} = 1[/m]
Наклонная асимптота: [b]f(x) = 2x + 1[/b]
9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты (при необходимости).
Точки экстремумов:
[m]\large y(1) = \frac{2 \cdot 1-3 \cdot 1}{1-2} = \frac{2-3}{-1} = 1[/m]
[m]\large y(3) = \frac{2 \cdot 3^2 -3 \cdot 3}{3-2} = \frac{18-9}{1} = 9[/m]
10. Построить график функции, ее асимптот, отметить ключевые точки.
График показан на рисунке. Все найденные точки: дополнительные и точки пересечения с осями также показаны.
Асимптоты показаны тонкими прямыми линиями.