Задача 80757 Тригонометрическое уравнение, найти все...
Условие
Решение
Все решения
Значит
[m]sin\frac{3π}{14}=cos \frac{2π}{7}[/m]
и уравнение принимает вид:
[m]cosx\cdot cos \frac{2π}{7}+sinx\cdot sin \frac{2π}{7}=\frac{1}{2}[/m]
По формуле:
[m]cos α \cdot cos β +sin α \cdot sin β=cos( α- β) [/m]
уравнение принимает вид
[m]cos(x-\frac{2π}{7})=\frac{1}{2}[/m]
[m]x-\frac{2π}{7}= ± arccos \frac{1}{2} +2πn[/m], n ∈ [b]Z[/b]
[m]x-\frac{2π}{7}= ± \frac{π}{3} +2πn[/m], n ∈ [b]Z[/b] ⇒
две серии ответов:
[m]x=\frac{2π}{7}- \frac{π}{3} +2πn[/m], n ∈ [b]Z[/b] или [m]x=\frac{2π}{7}+ \frac{π}{3} +2πn[/m], n ∈ [b]Z[/b]
[m]x=\frac{2π}{7}- \frac{π}{3} +2πn[/m], n ∈ [b]Z[/b] или [m]x=\frac{2π}{7}+ \frac{π}{3} +2πn[/m], n ∈ [b]Z[/b]
[red][m]x=-\frac{π}{21} +2πn[/m], n ∈ [b]Z[/b] [/red] или [red] [m]x=\frac{13π}{21} +2πn[/m], n ∈ [b]Z[/b] [/red]
Отбор корней, принадлежащих указанному промежутку проводим с помощью неравенств:
[m] \frac{7π}{2}≤ -\frac{π}{21} +2πn ≤\frac{9π}{2} [/m], n ∈ [b]Z[/b] или [m]\frac{7π}{2}≤\frac{13π}{21} +2πn ≤\frac{9π}{2}≤ [/m], n ∈ [b]Z[/b]
делим на π
[m] \ frac{7}{2}≤ -\frac{1}{21} +2n ≤\frac{9}{2} [/m], n ∈ [b]Z[/b] или [m]\frac{7}{2}≤\frac{13}{21} +2n ≤\frac{9}{2}≤ [/m], n ∈ [b]Z[/b]
умножаем на 42
[m]147 ≤ -2+84n ≤ 189[/m], n ∈[b] Z[/b] или [m]147 ≤ 26+84n ≤ 189[/m], n ∈[b] Z[/b]
Первое неравенство верно при n=2
[m]147 ≤ -2+84\cdot 2 ≤ 189[/m] ⇒ [m]147 ≤ 166 ≤ 189[/m] - верно
При n=2 получаем ответ
[red][m]x=-\frac{π}{21} +4π[/m][/red]
[red][m]x=\frac{83π}{21} [/m][/red]
Второе неравенство неверно ни при каких n
n=1
[m]147 ≤ 26+84 ≤ 189[/m]- неверно 147 > 84+26=110
[m]147 ≤ 26+84\cdot 2 ≤ 189[/m]- неверно, 168+26 > 189
О т в е т. [red][m]x=\frac{83π}{21} [/m][/red]