Задача 80756 38.5 второе. 38.7 второе Самое главное...
Условие
Самое главное график
Решение
[m]y = \begin{cases}
-x,\ x ≤ 0 \\
x^2+1,\ x > 0 \\
\end{cases}[/m]
План исследования функции:
1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
Функция кусочно-непрерывная, x ∈ (-oo; +oo).
Проверим значения на концах интервалов.
[m]\lim \limits_{x \to 0-0} y = \lim \limits_{x \to 0-0} (-x) = -0 = 0[/m]
[m]\lim \limits_{x \to 0+0} y = \lim \limits_{x \to 0+0} (x^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1[/m]
В точке x = 0 неустранимый разрыв 1 рода - скачок функции.
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Вертикальных асимптот нет.
3. Найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства.
y(0-0) = 0 - точка пересечения с осями Ox и Oy.
y(x) > 0 при всех x ∈ (-oo; 0) U (0; +oo)
4. Определить, является ли функция чётной или нечётной.
Не четная и не нечетная.
5. Определить, является ли функция периодической.
Не периодическая.
6. Найти точки экстремума и интервалы возрастания-убывания.
Точки экстремума - это точки, в которых y' = 0 или не существует.
y'(x ≤ 0) = (-x)' = -1
y'(x > 0) = (x^2 + 1)' = 2x > 0 при любом x > 0.
График экстремумов не имеет.
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Точки перегиба - это точки, в которых y'' = 0 или не существует.
y''(x ≤ 0) = 1' = 0 - но это не перегиб, это стационарность.
y''(x > 0) = (2x)' = 2 > 0
График точек перегиба не имеет.
При всех x график вогнутый (выпуклый вниз) или прямой.
8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
При y < 0 асимптота y = -x. При y > 0 асимптот нет.
9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты (при необходимости).
Дополнительных точек нет.
10. Построить график функции, ее асимптот, отметить ключевые точки.
График показан на рисунке №38.5 2)
[b]38.7 2)[/b]
[m]y = \begin{cases}
x^2 - 1,\ x ≤ 0 \\
x - 1,\ x > 0 \\
\end{cases}[/m]
План исследования функции:
1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
Функция кусочно-непрерывная, x ∈ (-oo; +oo).
Проверим значения на концах интервалов.
[m]\lim \limits_{x \to 0-0} y = \lim \limits_{x \to 0-0} (x^2 - 1) = 0 - 1 = -1[/m]
[m]\lim \limits_{x \to 0+0} y = \lim \limits_{x \to 0+0} (x - 1) = 0 - 1 = -1[/m]
В точке x = 0 разрывов нет
Функция непрерывна на всей области определения.
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Вертикальных асимптот нет.
3. Найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства.
y(0) = -1 - точка пересечения с осью Oy.
y(x) = 0 - точки пересечения с осью Ox.
При x ≤ 0 будет:
x^2 - 1 = 0
(x + 1)(x - 1) = 0
x1 = -1.
[b]A(-1; 0)[/b]
При x > 0 будет:
x - 1 = 0
x2 = 1
[b]B(1; 0)[/b]
4. Определить, является ли функция чётной или нечётной.
Не четная и не нечетная.
5. Определить, является ли функция периодической.
Не периодическая.
6. Найти точки экстремума и интервалы возрастания-убывания.
Точки экстремума - это точки, в которых y' = 0 или не существует.
y'(x ≤ 0) = (x^2 - 1)' = 2x = 0, x = 0, y(0) = -1
y'(x > 0) = (x - 1)' = 1 > 0 при любом x > 0.
C(0; -1) - точка экстремума.
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Точки перегиба - это точки, в которых y'' = 0 или не существует.
y''(x ≤ 0) = (2x)' = 2 > 0
y''(x > 0) = (1)' = 0 - но это не перегиб, это стационарность.
График точек перегиба не имеет.
При всех x график вогнутый (выпуклый вниз) или прямой.
8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
При y < 0 асимптот нет. При y > 0 асимптота y = x - 1.
9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты (при необходимости).
Дополнительных точек нет.
10. Построить график функции, ее асимптот, отметить ключевые точки.
График показан на рисунке №38.7 2)
