Задача 80750 (sqrt(16^x-4^(x+1)-12))+4^x>=2...
Условие
Решение
4^(x)=t, t >0
[m]\sqrt{t^2-4t-12}+t ≥ 2[/m]
[b][m]\sqrt{t^2-4t-12}≥ 2-t[/m][/b]
Иррациональное неравенство.
Решение включает в себя рассмотрение двух случаев:
1) случай
[b]Если 2-t <0[/b], то неравенство верно при условии [m] t^2-4t-12 ≥ 0[/m] ⇒
D=(-4)^2-4*(-12)=16+48=64
t=-2 или t=6
Неравенство верно
при [m]t ≤ -2[/m] или при [m]t ≥ 6[/m]
Учитывая t >0
Решение неравенства [b][m]\sqrt{t^2-4t-12}≥ 2-t[/m][/b] в 1) случае:
[b][m]t ≥ 6[/m][/b]
2) случай
[m]2-t ≥ 0[/m]⇒ [m] t ≤ 2[/m]
Возводим обе части неравенства в квадрат
[m]t^2-4t-12 ≥ 4-4t+t^2[/m]
[m]-12 ≥ 4[/m] неверное неравенство
Значит в случае 2) неравенство[b][m]\sqrt{t^2-4t-12}≥ 2-t[/m][/b] не имеет решения
Обратный переход
[m] 4^{x} ≥ 6[/m]
[m] x ≥ log_{4}6[/m]
О т в е т. [m] x ≥ log_{4}6[/m]