Задача 80745 решить подробно 2 задачи и написать...
Условие
Решение
y(x) = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3
При x ∈ [-2; 2]
Найдем значения функции на концах отрезка.
y(-2) = 2(-2)^5 + 5(-2)^4 - 10(-2)^3 + 3 = 2(-32) + 5*16 - 10(-8) + 3 =
= -64 + 80 + 80 + 3 = 99
y(2) = 2*2^5 + 5*2^4 - 10*2^3 + 3 = 2*32 + 5*16 - 10*8 + 3 =
= 64 + 80 - 80 + 3 = 67
Найдем экстремумы этой функции. Это точки, в которых y'(x) = 0.
y'(x) = 10x^4 + 20x^3 - 30x^2 = 0
10x^2*(x^2 + 2x - 3) = 0
10x^2*(x - 1)(x + 3) = 0
x1 = -3 - не принадлежит [-2; 2] и нас не интересует.
x2 = 0; y(0) = 2*0 + 5*0 - 10*0 + 3 = 3
x3 = 1; y(1) = 2*1 + 5*1 - 10*1 + 3 = 0
Ответ: Наименьшее значение y(x) на [-2; 2] : y(1) = 0
Наибольшее значение y(x) на [-2; 2] : y(-2) = 99
Задача 6.
Правильная треугольная призма имеет в основании равносторонний треугольник со стороной a и высоту H.
Объем призмы:
[m]V=S(осн) \cdot H = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot H = 16[/m]
Выразим отсюда H:
[m]H = \frac{16 \cdot 4}{a^2 \sqrt{3}} = \frac{64 \sqrt{3}}{3a^2}[/m]
Площадь полной поверхности состоит из двух оснований и трех прямоугольников со сторонами a и H.
[m]S(п) = 2 \cdot S(осн) + 3 \cdot a \cdot H = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} + \frac{64 \sqrt{3}}{a}[/m]
Таким образом, мы выразили площадь полной поверхности через а.
И нам надо, чтобы эта площадь была наименьшей.
Для этого нужно найти экстремум этой функции, где S'(п) = 0
[m]S'(п) = \frac{2a\sqrt{3}}{2} + \frac{64}{3} \cdot (-\frac{1}{a^2}) = 0[/m]
[m]a\sqrt{3} - \frac{64}{3a^2} = 0[/m]
[m]\frac{3a^3\sqrt{3} - 64}{3a^2} = 0[/m]
[m]3a^3\sqrt{3} - 64 = 0[/m]
[m]a^3 = \frac{64}{3\sqrt{3}} = \frac{64}{\sqrt{27}}[/m]
[m]a^3 = \frac{4^3}{(\sqrt{3})^3}[/m]
[m]a = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}[/m]
Вычислим отсюда высоту призмы H:
[m]H = \frac{64 \sqrt{3}}{3a^2}[/m]
Сначала найдем a^2:
[m]a^2 = \frac{4^2}{(\sqrt{3})^2} = \frac{16}{3}[/m]
Отсюда:
[m]H = \frac{64 \sqrt{3}}{16} = 4\sqrt{3}[/m]
То есть высота должна равняться H = 4sqrt(3) см.
А сторона треугольника в основании быть в 3 раза меньше, то есть
a = 4sqrt(3)/3