Задача 80701 Задача 3. Уравнение кривой второго...
Условие
Решение
Все решения
5y² − x − 10y + 1 = 0.
Порядок действий: перенесём x в правую часть, выделим полный квадрат по переменной y и приведём уравнение к каноническому виду параболы.
1. Выразим x:
5y² − 10y + 1 = x.
2. Выделим полный квадрат в скобках:
y² − 2y → (y − 1)² − 1.
Учитывая множитель 5:
5[ (y − 1)² − 1 ] + 1 = 5(y − 1)² − 5 + 1 = 5(y − 1)² − 4.
3. Подставляем в выражение для x:
x = 5(y − 1)² − 4.
4. Перенесём −4 влево и поделим на 5, чтобы получить привычную «параболическую» запись:
x + 4 = 5(y − 1)²
или
(y − 1)² = (1/5)(x + 4).
5. Канонический вид параболы
(y − k)² = 4p (x − h)
с параметром 4p = 1/5 (следовательно p = 1/20) и вершиной (h, k) = (−4, 1).
6. Основные элементы параболы
• Вершина: V(−4, 1)
• Ось параболы: горизонтальная прямая y = 1
• Фокус: F(h + p, k) = (−4 + 1/20, 1) = (−3.95, 1)
• Директриса: x = h − p = −4 − 1/20 = −4.05
• Длина параметра (фокальный диаметр): 2p = 1/10.
7. Построение
• Отметьте точку вершины V(−4, 1).
• Проведите горизонтальную ось y = 1.
• От вершины отложите p = 0.05 единицы вправо – получите фокус F.
• Аналогично, отложив p влево, проведите прямую-директрису x = −4.05.
• Через вершину проведите вспомогательную «рёберную» прямую x = −4,5 (например) и откладывайте от неё вверх и вниз одинаковые значения y, чтобы получить характерные точки – так удобно эскизировать кривую.
• Так как коэффициент при (y − 1)² положителен, ветви параболы открываются вправо.
Некоторые опорные точки
(y − 1)² = 0 ⇒ y = 1 ⇒ x = −4 (вершина)
(y − 1)² = 1 ⇒ y = 0 или 2 ⇒ x = −4 + 5·1 = 1
(y − 1)² = 4 ⇒ y = −1 или 3 ⇒ x = −4 + 5·4 = 16
Соединив эти точки плавной кривой, получаем параболу, горизонтально ориентированную вправо.