Задача 80700 вычислить пределы функций не пользуясь...
Условие
Решение
Все решения
lim _{x→2} ∛(4x−2) / √(8x−4).
1. Проверяем вид предела.
При x = 2 подкоренные выражения положительны и не обращаются в нуль:
• 4·2 − 2 = 6 ≠ 0,
• 8·2 − 4 = 12 ≠ 0.
Оба корня определены, поэтому точка x = 2 лежит в области непрерывности каждой из функций
x ↦ (4x−2)^{1/3} и x ↦ (8x−4)^{1/2}.
А композиция непрерывных функций также непрерывна.
2. Следовательно, предел равен значению функции в точке x = 2 (правило непрерывности):
lim _{x→2} ∛(4x−2) / √(8x−4)
= ∛(4·2 − 2) / √(8·2 − 4)
= ∛6 / √12.
3. Упрощаем знаменатель: √12 = √(4·3) = 2√3.
Предел = ∛6 / (2√3).
(По желанию можно оставить так или записать в степенной форме: 6^{1/3}/(2·3^{1/2}).)
Ответ: ∛6 ⁄ (2√3).
Эту [b]неопределенность устраняют
умножением и числителя и знаменателя на произведение выражений, сопряженных и числителю и знаменателю (!!!)
[/b]
[m] (\sqrt[3]{(4x)^2}+2\sqrt[3]{4x}+4)\cdot (\sqrt{8x}+4)[/m]
и применяют формулы:
(a-b)*(a+b)=a^2-b^2
(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3
[m]lim_{x → 2}\frac{(\sqrt[3]{4x}-2)(\sqrt[3]{(4x)^2}+2\sqrt[3]{4x}+4)\cdot (\sqrt{8x}+4)}{(\sqrt{8x}-4)(\sqrt[3]{(4x)^2}+2\sqrt[3]{4x}+4)\cdot (\sqrt{8x}+4)}=lim_{x → 2}\frac{(\sqrt[3]{4x})^3-2^2)\cdot(\sqrt{8x}+4 )}{((\sqrt{8x})^2-4^2)\cdot(\sqrt[3]{(4x)^2}+2\sqrt[3]{4x}+4)}=lim_{x →2}\frac{(4x-8)\cdot(\sqrt{8x}+4 )}{(8x-16)\cdot(\sqrt[3]{(4x)^2}+2\sqrt[3]{4x}+4)}=[/m][m]=lim_{x →2}\frac{4(x-2)\cdot(\sqrt{8x}+4 )}{8(x-2)\cdot(\sqrt[3]{(4x)^2}+\sqrt[3]{4x}+4)}[/m]
[b]сокращаем и числитель и знаменатель на [m](x-2)[/m] (!!!) ( этим и устраняется неопределенность)
[/b]
получим:
[m]=lim_{x →2}\frac{4\cdot(\sqrt{8x}+4 )}{8\cdot(\sqrt[3]{(4x)^2}+2\sqrt[3]{4x}+4)}=\frac{4\cdot(\sqrt{8\cdot 2}+4 )}{8\cdot(\sqrt[3]{(4\cdot 2)^2}+2\sqrt[3]{4\cdot 2}+4)}=\frac{4\cdot (4+4)}{8\cdot (4+4+4)}=\frac{1}{3}[/m]