Задача 80698 5.27. у' — у tgx †y cos x=0. (Ответ: у =...
Условие
+ C)cos x).)
Решение
Все решения
y' − y tg x = 0 (1)
получить общий интеграл
y = 1/(C cos x). (2)
(Именно формула (2) приведена в ответе, только константа C записана в знаменателе.)
1. Приводим уравнение к раздельному виду
y' = y tg x ⇒ dy/y = tg x dx. (3)
2. Интегрируем обе части:
∫(1/y) dy = ∫tg x dx
ln|y| = −ln|cos x| + C₁, (4)
поскольку ∫tg x dx = −ln|cos x| + const.
3. Переходим от логарифма к экспоненте:
|y| = e^{C₁}/|cos x|. (5)
4. Поглотив множитель e^{C₁} в новую произвольную постоянную C (знак ± тоже входит в C), получаем
y = C / cos x. (6)
5. Чтобы записать C в знаменателе так, как это сделано в ответе, достаточно внести его под дробь:
y = 1/(C₁ cos x). (7)
Формулы (6) и (7) эквивалентны, потому что C и 1/C₁ — это просто разные ненулевые произвольные константы.
Таким образом, решение уравнения (1) действительно имеет вид
y = 1/(C cos x),
что и требовалось показать.