Задача 80694 Средствами векторной алгебры вычислить...

695ec0b5928b994c33a2415c

1/7/2026 8:24:28 PM

Средствами векторной алгебры вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках М1, М2, М3, М4 и его высоту, опущенную из вершины М4, на грань М1, М2, М3.М1 (5;2;0); М2 (5;2;0); М3 (1;2;4); М4 (-1;1;1)

626fab9a354ab65fb2f43abb

1/8/2026 8:46:17 AM

★

М1(5; 2; 0); М2(5; 2; 0);М3(1; 2; 4); М4(–1; 1; 1)
Вы ошиблись, написали точки М1 и М2 с одинаковыми координатами.
Я возьму другие координаты: M2(-5; -2; 0).
Если у вас числа другие, подставьте их сами и пересчитайте формулы.
Главное - знать сами формулы.
Объём тетраэдра, построенного на трёх векторах a, b, c, равен:
[m]V = \frac{1}{6} \cdot \begin{vmatrix}
X(a) & Y(a) & Z(a) \\
X(b) & Y(b) & Z(b) \\
X(c) & Y(c) & Z(c) \\
\end{vmatrix}[/m]
В нашем случае сначала нужно построить вектора по точкам:
[m]\overline{a} = \overline{M1M2} = (-5-5; -2-2; 0-0) = (-10; -4; 0)[/m]
[m]\overline{b} = \overline{M1M3} = (1-5; 2-2; 4-0) = (-4; 0; 4)[/m]
[m]\overline{c} = \overline{M1M4} = (-1-5; 1-2; 1-0) = (-6; -1; 1)[/m]
Теперь находим объем тетраэдра:
[m]V = \frac{1}{6} \cdot \begin{vmatrix}
-10 & -4 & 0 \\
-4 & 0 & 4 \\
-6 & -1 & 1 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 1/6*(-10*0*1 + 0(-4)(-1) + (-6)(-4)*4 - 0*0(-6) - (-4)(-4)*1 - (-10)(-1)*4) =
= 1/6*(0 + 0 + 96 - 0 - 16 - 40) = 1/6*40 = 40/6 = 20/3
[m]V = \frac{20}{3}[/m]

Чтобы найти высоту H из вершины M4 на грань (M1M2M3), воспользуемся другой формулой объема тетраэдра:
[m]V = \frac{1}{3} \cdot S(M1M2M3) \cdot H[/m]
Отсюда:
[m]H = \frac{3 V}{S(M1M2M3)}[/m]
Для этого нам сначала надо найти площадь треугольника (M1M2M3).
Найдем его через векторное произведение векторов [a x b].
[m]\overline{N} = [\overline{a} × \overline{b}] = \begin{vmatrix}
i & j & k \\
X(a) & Y(a) & Z(a) \\
X(b) & Y(b) & Z(b) \\
\end{vmatrix} = [/m]
[m] = i \cdot \begin{vmatrix}
Y(a) & Z(a) \\
Y(b) & Z(b) \\
\end{vmatrix} - j \cdot \begin{vmatrix}
X(a) & Z(a) \\
X(b) & Z(b) \\
\end{vmatrix} + k \cdot \begin{vmatrix}
X(a) & Y(a) \\
X(b) & Y(b) \\
\end{vmatrix} =[/m]
[m]= i \cdot \begin{vmatrix}
-4 & 0 \\
0 & 4 \\
\end{vmatrix} - j \cdot \begin{vmatrix}
-10 & 0 \\
-4 & 4 \\
\end{vmatrix} + k \cdot \begin{vmatrix}
-10 & -4 \\
-4 & 0 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= i*(-4*4 - 0*0) - j*(-10*4 - 0(-4)) + k*(-10*0 - (-4)(-4)) =
= -16*i + 40*j - 16*k = (-16; 40; -16)
Длина этого вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b:
[m]|\overline{N}| = \sqrt{(-16)^2 + 40^2 + (-16)^2} =[/m]
[m]= \sqrt{256 + 1600 + 256}= \sqrt{2112} = 8\sqrt{33}[/m]
Площадь треугольника равна половине этой длины:
[m]S(M1M2M3) = \frac{1}{2} \cdot |\overline{N}| = 4 \sqrt{33}[/m]
И, наконец, находим высоту H из вершины M4 на (M1M2M3):
[m]H = \frac{3 V(t)}{S(M1M2M3)} = \frac{3 \cdot 20/3}{4 \sqrt{33}} = \frac{20}{4 \sqrt{33}} = \frac{5}{\sqrt{33}} = \frac{5\sqrt{33}}{33}[/m]
[m]H = \frac{5\sqrt{33}}{33}[/m]