Задача 80676 ...
Условие
Решение
Область определения:
x ≥ 0
x^2 – x + 3 ≥ 0
D = (-1)^2 - 4*1*3 = 1 - 12 = -11 < 0
Левое выражение больше 0 при любом x, поэтому:
x ∈ [0; +oo)
Оба корня арифметические, то есть неотрицательные,
поэтому можно возвести в квадрат обе части:
x^2 - x + 3 ≥ x
x^2 - 2x + 3 ≥ 0
(x + 1)(x - 3) ≥ 0
x ∈ (-oo; -1] U [3; +oo)
С учетом области определения:
x ∈ [3; +oo)
2) sqrt(x^2 + x – 10) + x + 2 < 0
sqrt(x^2 + x – 10) < -x - 2
Область определения:
x^2 + x – 10 ≥ 0
D = 1^2 - 4*1(-10) = 1 + 40 = 41
[m]x1 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2} ≈ -3,7[/m]
[m]x2 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2} ≈ 2,7[/m]
[m]x ∈ (-oo; \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}] U [\frac{-1 + \sqrt{41}}{2}; +oo)[/m]
Но корень - арифметический, то есть неотрицательный, поэтому:
0 < sqrt(x^2 + x – 10) < -x - 2
-x - 2 > 0
x < -2
Так как (-1 - sqrt(41))/2 < -2, а (-1 + sqrt(41))/2 > -2, то:
[m]x ∈ (-oo; \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}] [/m]
Теперь решаем неравенство:
sqrt(x^2 + x – 10) < -x - 2
Обе части неотрицательны, возводим в квадрат обе части:
x^2 + x - 10 < x^2 + 4x + 4
x - 10 < 4x + 4
-10 - 4 < 4x - x
3x > -14
x > -14/3 ≈ -4,67
Ответ: [m]x ∈ (-\frac{14}{3}; \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}] [/m]