Задача 80674 Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются...

69467bdcfc938919023f47a3

12/20/2025 10:37:01 AM

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M.  Известно, что AC=3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC  прямоугольный.
б) Найдите DN, где D - точка касания вписанной в треугольник ABC окружности и стороны АС и N - точка касания стороны АС и окружности, которая касается стороны АС и продолжений сторон AB и BC, если BB1 = 5, а BC = 6.

(с пояснением, где расположены точки D и N и почему)

692ecb44a0211e4a1fadc32d

12/20/2025 3:36:42 PM

★

Дано: ΔАВС; АА1 ∩ ВВ1 ∩ СС1 = М - медианы;
АС = 3 МВ;
Окр.(О; r) - вписана в ΔАВС; Окр.(I; R) - вневписанная;
D и N - точки касания вписанной и вневписанной окружностей с АС соответственно;
ВВ1 = 5; ВС = 6

Доказать: ΔАВС - прямоугольный;
Найти: DN

Решение:
1. АС = 3 МВ
Пусть МВ = х, тогда АС = 3х.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины
⇒ МВ1 = 0,5х ⇒ ВВ1 = 1,5х
АС = 3х, ВВ1 = 1,5х ⇒ ВВ1 = 1/2 АС
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
⇒ ΔАВС - прямоугольный.

2. ВВ1 = 5 ⇒ АС = 10
По теореме Пифагора:
[m]AB=\sqrt(100-36)=8[/m]

Радиус вписанной окружности равен:

[m]r=\frac{a+b-c}{2} [/m]

[m]r=OH=\frac{6+8-10}{2} =2[/m]

KBHO - квадрат

⇒ KA = AD = 8 - 2 = 6

Свойство вневписанной окружности:
Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника.

Р(АВС) = 10 + 8 + 6 = 24

⇒ ВЕ = 24 : 2 = 12
AE = 12 - 8 = 4 ⇒ AN = AE = 4 (отрезки касательных)

⇒ DN = AD - AN = 6 - 4 = 2

Ответ: DN = 2