Задача 80648 Построить с помощью изоклин решения...
Условие
Решение
y′ = y − 2x. (1)
1. Что такое изоклины
Изоклиной называется геометрическое место точек (x , y), в которых наклон поля направлений одинаков.
Из уравнения (1) видно, что наклон определяется числом
k = y − 2x. (2)
Следовательно, изоклины – это прямые
y = 2x + k, (3)
параметр k – это и есть постоянный наклон этих стрелочек.
2. Построение поля направлений с помощью изоклин
а) Выбираем несколько удобных значений k, например
k = −4, −2, −1, 0, 1, 2, 4.
б) Для каждого k проводим на плоскости прямую y = 2x + k
(все они параллельны, их угловой коэффициент равен 2).
в) На каждой прямой ставим короткие отрезки-стрелки с наклоном k:
• k = 0 → горизонтальные штрихи;
• k = 1 → наклон 45°;
• k = −1 → наклон −45°; и т.д.
Таким образом получаем «штриховку» – поле направлений.
3. Как пользоваться изоклинами
Пересекая прямые (3), решение каждое мгновение «подхватывает» соответствующий ему наклон. Поэтому, если из любой точки (x0 , y0) начать плавно соединять стрелочки, получается интегральная кривая – график решения с данной начальной точкой. Визуально видно:
• Над прямой y = 2x (k > 0) штрихи идут вверх (y′ > 0).
• Ниже этой прямой (k < 0) штрихи идут вниз (y′ < 0).
• На самой прямой y = 2x решение пересекает её горизонтально.
4. Проверка аналитически (для полноты)
Решим (1) обычным способом и убедимся, что получаем те же кривые.
y′ − y = −2x
d/dx (y e^{−x}) = −2x e^{−x}
y e^{−x} = ∫ −2x e^{−x} dx = 2(x + 1) e^{−x} + C
⇒ y = 2(x + 1) + C e^{x}. (4)
Фамилия решений (4) как раз ведёт себя так, как мы увидели на изоклинах:
• при x → −∞ слагаемое C e^{x} исчезает, все решения стремятся к прямой y = 2x + 2;
• при x → +∞ знак С определяет, уходит ли кривая вверх (C > 0) или вниз (C < 0).
5. Итог
• Изоклины (3) дают простую геометрическую сетку с постоянными наклонами.
• Соединяя стрелочки, строим интегральные кривые.
• Аналитическое решение подтверждает рисунок: графики функций (4) действительно проходят через поле направлений так, как диктуют изоклины.