Задача 80644 ЗАДАНИЕ 1.1...
Условие
Решение
Δ = | 1 1 –2 0 |
| 3 6 –2 5 |
| 1 0 6 4 |
| 2 3 5 –1 |
i = 4, j = 1.
1. Мины и алгебраические дополнения элементов a₁₂ и a₃₁
а) a₁₂ = 1.
Удаляем 1-ю строку и 2-й столбец
M₁₂ = | 3 –2 5 |
| 1 6 4 | = 3(–26) – (–2)(–9) + 5(–7) = –78 –18 –35 = –131
| 2 5 –1 |
A₁₂ = (–1)^{1+2}·M₁₂ = –(–131) = 131.
б) a₃₁ = 1.
Удаляем 3-ю строку и 1-й столбец
M₃₁ = | 1 –2 0 |
| 6 –2 5 | = 1(–23) – (–2)(–21) + 0 = –23 –42 = –65
| 3 5 –1 |
A₃₁ = (–1)^{3+1}·M₃₁ = (–65).
2. Вычисление Δ разложением по i-й строке (i = 4)
Сначала найдём все дополнения A₄k (k = 1…4).
A₄₁ :
M₄₁ = | 1 –2 0 | = –38 + 48 = 10
| 6 –2 5 |
| 0 6 4 | → A₄₁ = –10
A₄₂ :
M₄₂ = | 1 –2 0 | = –38 –24 = –24
| 3 –2 5 |
| 1 6 4 | → A₄₂ = –24
A₄₃ :
M₄₃ = | 1 1 0 | = 24 – 7 = 17
| 3 6 5 |
| 1 0 4 | → A₄₃ = –17
A₄₄ :
M₄₄ = | 1 1 –2 | = 36 – 20 + 12 = 28
| 3 6 –2 |
| 1 0 6 | → A₄₄ = 28.
Теперь
Δ = 2·A₄₁ + 3·A₄₂ + 5·A₄₃ – 1·A₄₄
= 2(–10) + 3(–24) + 5(–17) – 28
= –20 –72 –85 –28 = –205.
3. Разложение по j-му столбцу (j = 1)
Нужные дополнения:
A₁₁ = –270, A₂₁ = 50, A₃₁ = –65, A₄₁ = –10.
Δ = 1(–270) + 3(50) + 1(–65) + 2(–10)
= –270 + 150 – 65 – 20 = –205 (совпадает).
4. Получение нулей в i-й строке перед развёртыванием
R₄ → R₄ – 2R₁ : (0 1 9 –1)
R₄ → R₄ – (1/6)R₂ : (0 0 … …) ––– после двух-трёх элементарных операций можно занулить первые три элемента 4-й строки и затем разложить по ней, что вновь даёт Δ = –205.
Итог:
M₁₂ = –131, A₁₂ = 131
M₃₁ = –65, A₃₁ = –65
Определитель Δ = –205.