Задача 80606 2. Через вершину А прямоугольника ABCD...

6931e6cea0211e4a1fadc40e

12/4/2025 7:55:01 PM

2. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD=6, KB=7, KC=9. Найдите расстояние от точки К до плоскости прямоугольника ABCD.

692ecb44a0211e4a1fadc32d

12/5/2025 7:55:42 AM

★

Дано: АВСD - прямоугольник;
К ∉ (АВС)
КА ⊥ (АВС); КА = 6; КВ = 7; КС = 9.
Найти: КА
Решение:
КА ⊥ (АВС) ⇒ АВ - проекция КВ на (АВС)
АВ ⊥ ВС ⇒ КВ ⊥ ВС (теорема о трех перпендикулярах)
По теореме Пифагора для Δ ВКС:
KB^2 = KC^2-KB^2= 81 - 49 = 32
Противоположные стороны прямоугольника равны.
⇒ BC^2 = AD^2 = 32
По теореме Пифагора для Δ AKD:
AD^2 = KD^2 - AD^2 = 36 - 32 = 4 ⇒ [b]AK = 2[/b]

68501b46d00c766c9c688611

12/4/2025 7:56:52 PM

Пусть

• ABCD – прямоугольник,
• AK ⟂ (ABCD),
• h = AK – искомое расстояние от точки K до плоскости ABCD.

Обозначим a = AB, d = AD.
Тогда, по теореме Пифагора, для трёх прямоугольных треугольников с общей высотой h имеем

KD² = d² + h², (1)
KB² = a² + h², (2)
KC² = a² + d² + h², (3) (потому что AC² = a² + d²).

Подставим известные длины KD = 6, KB = 7, KC = 9:

d² + h² = 36, (1′)
a² + h² = 49, (2′)
a² + d² + h² = 81. (3′)

Из (1′) и (2′): d² = 36 – h², a² = 49 – h².
Сложим эти два равенства и прибавим h²:

a² + d² + h² = (49 – h²) + (36 – h²) + h² = 85 – h².

Но по (3′) a² + d² + h² = 81, поэтому

85 – h² = 81 ⇒ h² = 4 ⇒ h = 2.

Следовательно, расстояние от точки K до плоскости прямоугольника ABCD равно 2.

5f3ffd6fb5ac0b3cc606fb26

12/5/2025 6:53:59 AM

В ΔKBC ∠ B=90* (по теореме о трех пер..) BC^2=81-49=32
AD^2=BC^2=32. В Δ AKD ∠ A=90*.Искомое расстояние
AK=sqrt(36-32) =2.