Задача 80604 4.19 решите пж и по быстрее ...
Условие
Решение
Замена [m]x = \frac{2}{\cos t};\ dx = \frac{2' \cdot \cos t - 2\cos' t}{\cos^2 t} dt= \frac{2\sin t}{\cos^2 t} dt [/m]
[m]\cos t = \frac{2}{x};\ \cos^2 t = \frac{4}{x^2};\ \sin^2 t = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2};\ \sin t = \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}[/m]
Получилось, что sin t равно подинтегральной функции.
Пределы интегрирования:
[m]x1 = 2;\ \frac{2}{\cos t} = 2;\ \cos t = 1;\ t = 0;[/m]
[m]x2 = 4;\ \frac{2}{\cos t} = 4;\ \cos t = \frac{1}{2};\ t = \frac{π}{3}[/m]
Получаем:
[m]\int \limits_{0}^{π/3} \sin t \cdot \frac{2\sin t}{\cos^2 t} dt = \int \limits_{0}^{π/3} \frac{2\sin^2 t}{\cos^2 t} dt = 2\int \limits_{0}^{π/3} \frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t} dt =[/m]
[m]= \int \limits_{0}^{π/3} (\frac{1}{\cos^2 t} - 1) dt = tg\ t - t \bigg |_{0}^{π/3}= [/m]
[m]= tg\ \frac{π}{3} - \frac{π}{3} - 0 + 0 = \sqrt{3} - \frac{π}{3} ≈ 1,732 - \frac{3,1416}{3} ≈ 0,684[/m]
Все решения
Замена переменной:
x=3tgt
[m]x^2+9=9tg^2t+9=9(tg^2t+1)=9\frac{1}{cos^2t}[/m]
sqrt(x^2+9)=3/cost
dx=(3tgt)`dt
dx=(3/cos^2t)dt
Пределы интегрирования
x=0 ⇒ tgt=0 ⇒ t=0
x=3 ⇒ 3tgt=3 ⇒ t=π/4
получим
[m] ∫^{\frac{π}{4}} _{0}\frac{\frac{3}{cos^2t}dt}{\frac{9}{cos^2t}\cdot \frac{3}{cost}}=∫^{\frac{π}{4}} _{0}\frac{cost}{9}dt=\frac{1}{9}(sint)|^{\frac{π}{4}} _{0}=\frac{\sqrt{2}}{18}[/m]