Задача 80589 Решите задания. Срочно нужно????????...
Условие
Решение
y = 2x² – 2x – 3 в точке A(–1 ; 1)
1) Производная (угловой коэффициент касательной):
y′ = 4x – 2.
y′(–1) = 4·(–1) – 2 = –6.
2) Касательная (уравнение через точку-наклон):
y – 1 = –6 (x + 1) ⇒ y = –6x – 5.
3) Нормаль – прямая, перпендикулярная касательной:
её наклон kₙ = –1/kₖ = –1/(–6) = 1/6.
y – 1 = 1/6 (x + 1) ⇒ y = (x + 7)/6.
Ответ:
касательная y = –6x – 5, нормаль y = (x + 7)/6.
10. Дифференциал функции y = x²·arctg x
y′ = 2x·arctg x + x²·1/(1 + x²).
dy = (2x·arctg x + x²/(1 + x²)) dx.
11. Вторая производная y = (15 – x³)⁴
1) Первая производная (правило цепочки):
y′ = 4(15 – x³)³ · (–3x²) = –12x²(15 – x³)³.
2) Вторая производная (правило произведения):
y″ = d/dx[–12x²]·(15 – x³)³ + (–12x²)·d/dx[(15 – x³)³]
= (–24x)(15 – x³)³ + (–12x²)(–9x²)(15 – x³)²
= –24x(15 – x³)³ + 108x⁴(15 – x³)².
Можно вынести общий множитель:
y″ = 12x(15 – x³)² (11x³ – 30).
Ответ:
y″ = –24x(15 – x³)³ + 108x⁴(15 – x³)²
или y″ = 12x(15 – x³)² (11x³ – 30).