Задача 80577 Решите пожалуйста ...
Условие
Решение
cos(2x + π/3) ≤ 1/2
Замена 2x + π/3 = t
cos t ≤ 1/2
Записываем двойное неравенство с периодом 2k, k ∈ Z:
π/3 + 2π*k ≤ t ≤ 5π/3 + 2π*k, k ∈ Z
Решение показано на рис. 1 красным цветом.
Я специально сделал замену, чтобы нагляднее показать решение,
хотя это решение для всей скобки, а не для x. Переходим к x:
π/3 + 2π*k ≤ 2x + π/3 ≤ 5π/3 + 2π*k, k ∈ Z
Вычитаем π/3 из всех трёх выражений:
0 + 2π*k ≤ 2x ≤ 4π/3 + 2π*k, k ∈ Z
2π*k ≤ 2x ≤ 4π/3 + 2π*k, k ∈ Z
Делим на 2 все три выражения:
π*k ≤ x ≤ 2π/3 + π*k, k ∈ Z
[b]x ∈ [π*k; 2π/3 + π*k], k ∈ Z[/b]
2) 2cos(4x - π/6) > 1
cos(4x - π/6) > 1/2
Замена 4x - π/6 = t
cos t > 1/2
-π/3 + 2π*k < t < π/3 + 2π*k, k ∈ Z
Решение показано на рис. 2 красным цветом.
-π/3 + 2π*k < 4x - π/6 < π/3 + 2π*k, k ∈ Z
-2π/6 + 2π*k < 4x - π/6 < 2π/6 + 2π*k, k ∈ Z
-π/6 + 2π*k < 4x < 3π/6 + 2π*k, k ∈ Z
-π/6 + 2π*k < 4x < π/2 + 2π*k, k ∈ Z
-π/24 + π/2*k < x < π/8 + π/2*k, k ∈ Z
[b]x ∈ (-π/24 + π/2*k; π/8 + π/2*k), k ∈ Z[/b]
3) sqrt(2)sin(x/2 + π/4) ≥ 1
sin(x/2 + π/4) ≥ 1/sqrt(2)
Замена x/2 + π/4 = t
sin t ≥ 1/sqrt(2)
π/4 + 2π*k ≤ t ≤ 3π/4 + 2π*k, k ∈ Z
Решение показано на рис. 3 красным цветом.
π/4 + 2π*k ≤ x/2 + π/4 ≤ 3π/4 + 2π*k, k ∈ Z
0 + 2π*k ≤ x/2 ≤ 2π/4 + 2π*k, k ∈ Z
2π*k ≤ x/2 ≤ π/2 + 2π*k, k ∈ Z
4π*k ≤ x ≤ π + 4π*k, k ∈ Z
[b]x ∈ [4π*k; π + 4π*k], k ∈ Z[/b]
