Задача 80563 помогите пожалуйста ...
Условие
Решение
ξ – число попарно различных цифр в записи случайно выбранного
четырёхзначного числа (от 1000 до 9999, всего 9000 чисел).
Возможные значения ξ : 1, 2, 3, 4.
1. Количество четырёхзначных чисел с данным k = ξ
a) k = 1 (все цифры одинаковы)
1111, 2222, … , 9999 → N₁ = 9.
b) k = 4 (все цифры различны)
d₁∈{1,…,9}; d₂∈{0,…,9}\{d₁}; d₃∈{0,…,9}\{d₁,d₂}; d₄∈{0,…,9}\{d₁,d₂,d₃}
N₄ = 9·9·8·7 = 4536.
c) k = 3 (мульти-тип 2-1-1)
– выбираем дублирующуюся цифру d (10 вариантов);
– выбираем две разные цифры e,f (из оставшихся 9, С₉² = 36);
– размещаем d,d,e,f ( 4!/2! = 12 порядков);
– исключаем варианты с начальным нулём.
Точный счёт даёт N₃ = 3888.
d) k = 2 (типы 3-1 и 2-2)
• тип 3-1 : N₍₃₁₎ = 324
• тип 2-2 : N₍₂₂₎ = 243
N₂ = 324 + 243 = 567.
Проверка: N₁+N₂+N₃+N₄ = 9 + 567 + 3888 + 4536 = 9000.
2. Полное распределение ξ
P(ξ = 1) = 9/9000 = 1/1000 = 0.001
P(ξ = 2) = 567/9000 = 63/1000 = 0.063
P(ξ = 3) = 3888/9000 = 432/1000 = 0.432
P(ξ = 4) = 4536/9000 = 504/1000 = 0.504
Функция распределения F(x)=P(ξ≤x) – ступенчатая:
x<1 → 0
1≤x<2 → 0.001
2≤x<3 → 0.064
3≤x<4 → 0.496
x≥4 → 1.
3. Математическое ожидание
E[ξ] = Σ k·P(ξ = k)
= 1·0.001 + 2·0.063 + 3·0.432 + 4·0.504
= 0.001 + 0.126 + 1.296 + 2.016
= 3.439.
(точно E = 3439/1000).
4. Вторая момент и дисперсия
E[ξ²] = 1²·0.001 + 2²·0.063 + 3²·0.432 + 4²·0.504
= 0.001 + 0.252 + 3.888 + 8.064
= 12.205.
(точно E[ξ²] = 2441/200).
Var[ξ] = E[ξ²] − (E[ξ])²
= 12.205 − 3.439²
= 12.205 − 11.826 721
≈ 0.378 279.
(точно Var = 378 279 / 1 000 000).
Итого
• распределение: (0.001, 0.063, 0.432, 0.504),
• E[ξ] = 3.439,
• D[ξ] ≈ 0.3783.