Задача 80544 контрольная работа по математике. Найти...

68e181a4d4282d71f8dd33b0

11/18/2025 11:29:59 AM

контрольная работа по математике. Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя: а) lim x->0 cos6x-1/sin^2 18x; б) lim x->8 (12-x/3-x)^4x+11; в) lim x->1 2x^2+7x-9/1+5x-6x^2; г) lim x->3 корень из x+2 - корень из 2х-1 / 25-х^2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

11/18/2025 4:48:58 PM

★

a)
[m]lim_{x → 0}\frac{cos6x-1}{sin^218x}=\frac{cos0-1}{
0}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}-[/m] неопределенность


так как
[m]cos6x-1=-(1-cos6x)=-2sin^23x[/m]

получаем

[m]=lim_{x → 0}\frac{-2sin^23x}{sin^218x}=[/m]


Применяем первый замечательный предел ( [m]lim_{x → 0}\frac{sin3x}{3x}=1[/m] и [m]lim_{x → 0}\frac{18x}{sin18x}=1[/m]

[m]=-2lim_{x → 0}\frac{sin3x}{3x}\cdot\frac{sin3x}{3x}\cdot\ \frac{18x}{sin18x}\cdot \frac{18x}{sin18x}\cdot \frac{3x\cdot 3x}{18x\cdot 18x}=2\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot \frac{9}{324}=\frac{1}{18}[/m]

б)

см. второй замечательный предел

[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{12-x}{3-x})^{4x+11}=\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{12-x}{x}}{\frac{3-x}{x}})^{4x}\cdot(\frac{\frac{12-x}{x}}{\frac{3-x}{x}})^{11} =[/m]

Предел произведения равен произведению пределов.

[m]=\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{12-x}{x}}{\frac{3-x}{x}})^{4x}\cdot \lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{12-x}{x}}{\frac{3-x}{x}})^{11} =[/m]

Вычисляем

[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{12-x}{x}}{\frac{3-x}{x}})^{4x}=[/m]

[m]lim_{x \to\infty}\frac{(\frac{12}{x}-1)^{4x}}{(\frac{3}{x}-1)^{4x}}=\frac{(e^{-12})^{4}}{(e^{-3})^{4}}=e^{-36}[/m]


[m]=e^{-36}[/m]

[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{12-x}{x}}{\frac{3-x}{x}})^{11} =[/m]

[m]=lim_{x \to\infty}\frac{(\frac{12}{x}-1)^{11}}{(\frac{3}{x}-1)^{11}}=\frac{(-1)^{11}}{(-1)^{11}}=1[/m]



в)
[m]lim_{x →1}\frac{2x^2+7x-9}{1+5x-6x^2}=\frac{2\cdot 1^2+7\cdot 1-9}{1+5\cdot1-6\cdot 1^2}=\frac{2+7-9}{1+5-6}=\frac{0}{0}[/m]- неопределенность

Раскладываем на множители

( см. разложение квадратного трехчлена на множители)

[m]2x^2+7x-9=(2x+9)(x-1)[/m] так как D=(7)^2-4*4*(-9)=49+72=121 корни: x_(1)=-9/2; x_(2)=1

[m]1+5x-6x^2=-6(x+1/6)(x-1)[/m], так как D=5^2-4*(-6)=25+24=49, корни: x_(1)=-1/6; x_(2)=1


[m]=lim_{x → 1}\frac{(2x+9)(x-1)}{-(6x+1)(x-1)}=[/m]

сокращаем на (x-1)

[m]lim_{x → 1}\frac{2x+9}{-6x-1}=\frac{2\cdot 1+9}{-6\cdot 1 -1}=-\frac{11}{7}[/m]



г)[m]\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{25-x^2}=\frac{\sqrt{3+2}-\sqrt{2\cdot 3-1}}{25-3^2}=\frac{0}{16}=0[/m]