Задача 80529 ...
Условие
Решение
(x-1)^(2)=(x+3)^(2),
это уравнение распадается на два уравнения:
1) x-1=x+2,
0*x=3,
корней нет;
2) x-1=-(x+3),
x-1=-x-3,
2x=-2,
x=-1.
Ответ: -1.
Все решения
4) В урне 9 красных, 6 жёлтых, 5 зелёных: всего 20. Вероятность жёлтого: 6/20 = 3/10 = 0.3.
6) Цена 2,500 руб., скидка 10% ⇒ 2,500·0.9 = 2,250 руб.
7) 2sin^2x − 0.5sin2x + 5cos^2x = 3.
Заменим sin2x=2sinx cosx, sin^2x=1−cos^2x:
2(1−c^2) − 0.5·2sc + 5c^2 = 3 ⇒ 2 − 2c^2 − s c + 5c^2 = 3 ⇒ 3c^2 − s c − 1 = 1 ⇒ 3c^2 − s c − 2 = 0, где s=sinx, c=cosx.
Выразим s через c: s=±sqrt(1−c^2). Удобнее перейти через t=tan(x/2): sinx=2t/(1+t^2), cosx=(1−t^2)/(1+t^2).
Подстановка: 3((1−t^2)/(1+t^2))^2 − (2t/(1+t^2))((1−t^2)/(1+t^2)) − 2 = 0.
Умножим на (1+t^2)^2: 3(1−t^2)^2 − 2t(1−t^2) − 2(1+t^2)^2 = 0.
Раскроем: 3(1−2t^2+t^4) − 2t + 2t^3 − 2(1+2t^2+t^4)=0 ⇒
(3−6t^2+3t^4) − 2t + 2t^3 − (2+4t^2+2t^4)=0 ⇒
(3−2) + (−6t^2−4t^2) + (3t^4−2t^4) + 2t^3 − 2t = 0 ⇒
1 − 10t^2 + t^4 + 2t^3 − 2t = 0 ⇒ t^4 + 2t^3 − 10t^2 − 2t + 1 = 0.
Симметричный многочлен: разделим на t^2: (t^2 + 2t − 10 − 2/t + 1/t^2)=0 ⇒ поставим u = t − 1/t.
Тогда u^2 = t^2 − 2 + 1/t^2, и t^2 + 1/t^2 = u^2 + 2, а 2t − 2/t = 2u.
Получим (u^2+2) + 2u − 10 = 0 ⇒ u^2 + 2u − 8 = 0 ⇒ (u+4)(u−2)=0.
Значит u=2 или u=−4.
u= t − 1/t = 2 ⇒ t^2 − 2t − 1=0 ⇒ t=1±sqrt(2).
u= −4 ⇒ t^2 + 4t − 1=0 ⇒ t= −2±sqrt(5).
Тогда x = 2 arctan t + 2πk. Ответ: x = 2arctan(1+sqrt(2)) + 2πk; 2arctan(1−sqrt(2)) + 2πk; 2arctan(−2+sqrt(5)) + 2πk; 2arctan(−2−sqrt(5)) + 2πk.