Задача 8052 В равнобедренную трапецию, периметр...

slava191

23.03.2016

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Julia_Trusova

23.03.2016

★

Так как в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны. Т.е. AB+CD=BC+AD=200:2=100
Так как трапеция равнобедренная, AB=CD=100:2=50
S(ABCD)=1/2*(AD+BC)*BH
BH=(S(ABCD)):(1/2*(AD+BC))=1500:(1/2*100)=1500:50=30
Из треугольника АВН по теореме Пифагора: AH=sqrt(AB^2-BH^2)=sqrt(2500-900)=sqrt(1600)=40
BC+AD=100
AD=2*AH+BC
Тогда, 2ВС+2AH=100
2BC+2*40=100
BC=(100-80)/2=10
AD=40*2+10=90
S(ABD)=S(ACD)=1/2*AD*BH=1/2*90*30=1350
По свойству диагоналей трапеции: S(ABF)=S(DCF)
Пусть S(ABF)=S(DCF)=y, тогда S(AFD)=1350-y
Если FL=x, тогда KF=30-x (KL=BH=30)
И S(AFD)=1/2*AD*FL=1/2*90*x=45х
То есть, 1350-y=45х
у=1350-45х
S(BFC)=1/2*10*(30-x)=150-5x
Так же S(BFC)=S(ABCD)-2*S(ABF)-S(AFD)=1500-2y-45x
То есть, 150-5x=1500-2y-45x
2у=1500-45х-150+5х
2у=1350-40х
у=675-20х
Таким образом, 1350-45х=675-20х
-45х+20х=675-1350
-25х=-675
х=27
FL=27, KF=30-27=3