Задача 80517 Решите задание ...
Условие
Решение
y1(0) = 0^2 = 0
Да, эта функция бесконечно малая при x → 0.
y2 = 1 - cos 2x
y2(0) = 1 - cos 0 = 1 - 1 = 0
Да, эта функция бесконечно малая при x → 0.
Попробуем их сравнить.
1 - cos 2x = 1 - (1 - 2sin^2 x) = 2sin^2 x
Найдем предел отношения:
[m]\lim \limits_{x \to 0} \frac{y2}{y1} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{1 - (1 - 2\sin^2 x)}{x^2} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{x^2}[/m]
Мы знаем 1 Замечательный предел:
[m]\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1[/m]
Поэтому:
[m]\lim \limits_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{x^2} = 2\lim \limits_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x})^2 = 2 \cdot 1^2 = 2[/m]
Ответ: При x → 0 функция y2 = 1 - cos 2x вдвое больше, чем y1 = x^2