Задача 80481 Даны координаты вершин треугольника ABC:...

68cbce0345525b56e490c3c5

11/5/2025 9:31:30 AM

Даны координаты вершин треугольника ABC: A(4;-3), B(7;1), C(8;-1). Найти: 1)длину стороны AB; 2) уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты; 3) угол A в градусах; 4) уравнение высоты CD и её длину; 5) уравнение медианы AE и её длину; 6) уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно стороне AB; 7) координаты точки M, расположенной симметрично точке A относительно прямой CD.

68501b46d00c766c9c688611

11/5/2025 10:04:15 AM

★

Треугольник A(4; –3), B(7; 1), C(8; –1)

1. Длина стороны AB
AB = √[(7 – 4)² + (1 – (–3))²] = √(3² + 4²) = √25 = 5.

2. Уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты

• AB : k_AB = (1 – (–3))/(7 – 4) = 4/3.
y + 3 = 4/3 (x – 4) ⟺ 4x – 3y – 25 = 0.

• AC : k_AC = (–1 – (–3))/(8 – 4) = 2/4 = 1/2.
y + 3 = 1/2 (x – 4) ⟺ x – 2y – 10 = 0.

3. Угол A (между векторами AB и AC)

AB⃗ = (3, 4), AC⃗ = (4, 2)
AB⃗·AC⃗ = 3·4 + 4·2 = 20
|AB⃗| = 5, |AC⃗| = √20 = 2√5.

cos∠A = 20/(5·2√5) = 2/√5 ≈ 0.894427
∠A ≈ arccos 0.894427 ≈ 26.565° (≈ 26°34′).

4. Высота CD на сторону AB

AB : 4x – 3y – 25 = 0 ⇒ a = 4, b = –3, c = –25
Перпендикуляр ⇒ k_CD = –3/4.
Через C(8; –1): y + 1 = –3/4 (x – 8)
⇒ 4(y + 1) = –3(x – 8) ⇒ 3x + 4y – 20 = 0 (уравнение CD).

Длина CD – расстояние от C до AB:
d = |4·8 – 3·(–1) – 25| / √(4² + (–3)²) = |32 + 3 – 25| / 5 = 10/5 = 2.

5. Медиана AE

Середина BC:
E( (7 + 8)/2 , (1 + (–1))/2 ) = (15/2 , 0) = (7.5; 0).

Уравнение AE:
k_AE = (0 – (–3)) / (7.5 – 4) = 3/3.5 = 6/7.
y + 3 = 6/7 (x – 4) ⟺ 6x – 7y – 45 = 0.

Длина AE:
AE = √[(7.5 – 4)² + (0 – (–3))²] = √(3.5² + 3²) = √21.25 = √85 / 2 ≈ 4.610.

6. Прямая, проходящая через E и параллельная AB

Параллельно AB ⇒ тот же k = 4/3.
y – 0 = 4/3 (x – 7.5) ⟺ 4x – 3y – 30 = 0.

7. Точка M – отражение A относительно прямой CD

Прямая CD: 3x + 4y – 20 = 0 (a = 3, b = 4, c = –20).
Формулы отражения:

x_M = x_A – 2a(ax_A + b y_A + c)/(a² + b²)
y_M = y_A – 2b(ax_A + b y_A + c)/(a² + b²).

Подставляем A(4; –3):

ax_A + by_A + c = 3·4 + 4·(–3) – 20 = –20
a² + b² = 3² + 4² = 25.

x_M = 4 – 2·3·(–20)/25 = 4 + 120/25 = 4 + 24/5 = 44/5 = 8.8
y_M = –3 – 2·4·(–20)/25 = –3 + 160/25 = –3 + 32/5 = 17/5 = 3.4

M(44/5 ; 17/5) ≈ (8.8 ; 3.4).

Ответы (кратко)
1) AB = 5.
2) AB: 4x – 3y – 25 = 0, k = 4/3; AC: x – 2y – 10 = 0, k = 1/2.
3) ∠A ≈ 26.565°.
4) CD: 3x + 4y – 20 = 0, CD = 2.
5) AE: 6x – 7y – 45 = 0, AE = √85 / 2 ≈ 4.61.
6) 4x – 3y – 30 = 0.
7) M(44/5 , 17/5).