Задача 80480 Добрый день! Прошу решить уравнение по...
Условие
Решение
a)
Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
y''+8y'-33y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^+8k-33=0
D=8^2-4*(-33)=64+132=196
k_(1)=-11и k_(2)=3 - корни действительные несовпадающие,
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=C_(1)e^(-11x)+C_(2)e^(3x)
б)
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
y_(частное неодн)=C_(1)(x)*e^(-11x)+C_(2)(x)*e^(3x)
Система для нахождения коэффициентов C_(1)(x) и C_(2)(x) принимает вид:
{C`_(1)((x)*e^(-11x)+C`_(2)(x)*e^(3x)=0
{C`_(1)(x)*(e^(-11x))`+C`_(2)(x)*(e^(3x))`=e^(-3x)*(4x^2+5x+1)
или
{C`_(1)(x)*e^(-11x)+C`_(2)(x)*e^(3x)=0
{-11C`_(1)(x)*e^(-11x)+3*C`_(2)(x)*(e^(3x)=e^(-3x)*(4x^2+5x+1) ⇒
{C`_(1)(x)=-C`_(2)(x)*e^(14x) и подставляем во второе
{-11*[b](-C`_(2)(x)*e^(14x) )[/b]*e^(-11x)+3*C`_(2)(x)*(e^(3x)=e^(-3x)*(4x^2+5x+1) ⇒
{C`_(1)(x)=-C`_(2)(x)*e^(14x) и подставляем во второе
{11C`_(2)(x)*e^(3x)+3*C`_(2)(x)*(e^(3x)=e^(-3x)*(4x^2+5x+1) ⇒ 14C`_(2)(x)*e^(3x)=e^(-3x)*(4x^2+5x+1)
По всей видимости в условии задачи опечатка и справа должно быть e^([red]+[/red]3x)*(4x^2+5x+1) [red](!!!)[/red]
Тогда C`_(2)(x)=(4x^2+5x+1/14
Интегрируем:
C_(2)(x)=(4/14)*(x^3/3)+(5/14)*(x^2/2)+(1/14)*x+ C_(2)
Подставляем C`_(2)(x)=(4x^2+5x+1)/14
в C`_(1)(x)=-C`_(2)(x)*e^(14x)
Получаем
C`_(1)(x)=-((4x^2+5x+1)/14)*e^(14x) ( см в комментариях решение )
Интегрируем по частям дважды:
и получим ответ б)
общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)
