Задача 80443 Решить задачу по теме Векторы...
Условие
Решение
A(1; 3; 6), B(2; 2; 1), C(–1; 0; 1), D(5; –4; 5).
1. Векторы AB , AC , AD, их длины и направляющие (косинусы направлений)
• AB = B – A = (1, –1, –5)
|AB| = √(1²+ (–1)² + (–5)²) = √27 ≈ 5.196
cos α₁ = 1/√27 ≈ 0.192 cos β₁ = –1/√27 ≈ –0.192 cos γ₁ = –5/√27 ≈ –0.962
• AC = C – A = (–2, –3, –5)
|AC| = √(4+9+25) = √38 ≈ 6.164
cos α₂ = –2/√38 ≈ –0.324 cos β₂ = –3/√38 ≈ –0.487 cos γ₂ = –5/√38 ≈ –0.811
• AD = D – A = (4, –7, –1)
|AD| = √(16+49+1) = √66 ≈ 8.124
cos α₃ = 4/√66 ≈ 0.492 cos β₃ = –7/√66 ≈ –0.862 cos γ₃ = –1/√66 ≈ –0.123
(Единичные векторы получаются делением координат на длину.)
2. Угол между AB и AC
Скалярное произведение:
AB·AC = 1·(–2) + (–1)(–3) + (–5)(–5) = –2 + 3 + 25 = 26.
cos φ = (AB·AC)/(|AB||AC|) = 26 /(√27 · √38) = 26/√1026 ≈ 0.8115
φ = arccos 0.8115 ≈ 36°.
3. Площадь грани ABC
Находим векторное произведение:
AB × AC = (–10, 15, –5)
|AB×AC| = √(100+225+25) = √350.
S_ABC = ½|AB×AC| = ½√350 ≈ 9.35.
4. Объём пирамиды ABCD
Смешанное произведение (AB × AC)·AD:
(–10, 15, –5)·(4, –7, –1) = –40 –105 +5 = –140.
V = ⅙ |(AB × AC)·AD| = ⅙·140 = 70/3 ≈ 23.3.
Ответ (сводная таблица)
1)
AB = (1, –1, –5), |AB| = √27
AC = (–2, –3, –5), |AC| = √38
AD = (4, –7, –1), |AD| = √66
2) ∠(AB, AC) ≈ 36°
3) S_ABC = ½√350 ≈ 9.35
4) V_ABCD = 70/3 ≈ 23.3.