Задача 80422 Помогите решить пожалуйста без правила...
Условие
Решение
Числитель раскладываем на скобки как разность квадратов, в знаменателе выносим 1/3 за скобки, потом сокращаем (3x+1):
[m]\large \lim \limits_{x \to -1/3} \frac{(3x-1)(3x+1)}{1/3(3x + 1)} = \lim \limits_{x \to -1/3} 3(3x-1) = [/m]
[m]\large =3(3(-\frac{1}{3}) - 1) = -6[/m]
2) [m]\large \lim \limits_{x \to \infty} \frac{3x^3 - 2x - 4}{8x^2 - 3x + 5} = \frac{\infty}{\infty}[/m]
Делим числитель и знаменатель на x в старшей степени, на x^3.
Все дроби вида a/x^n → 0 при x → oo:
[m]\large \lim \limits_{x \to \infty} \frac{3 - 2/x^2 - 4/x^3}{8/x - 3/x^2 + 5/x^3} = \frac{3 - 0 - 0}{0 - 0 + 0} = \frac{3}{0} = \infty[/m]
3) [m]\large \lim \limits_{x \to -3} \frac{x+3}{\sqrt{x+4}-1} = \frac{-3+3}{\sqrt{-3+4}-1} = \frac{0}{0}[/m]
Домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое
[m]\large (\sqrt{x+4}+1)[/m], в знаменателе избавляемся от корня.
[m]\large \lim \limits_{x \to -3} \frac{(x+3)(\sqrt{x+4}+1)}{(\sqrt{x+4}-1)(\sqrt{x+4}+1)} =\lim \limits_{x \to -3} \frac{(x+3)(\sqrt{x+4}+1)}{x+4-1} =[/m]
[m]\large = \lim \limits_{x \to -3} \frac{(x+3)(\sqrt{x+4}+1)}{x+3} = \lim \limits_{x \to -3} (\sqrt{x+4}+1) = [/m]
[m] \large =\sqrt{-3+4}+1 = \sqrt{1}+1= 2[/m]
4) [m]\large \lim \limits_{x \to 0} \frac{tg\ (3x)}{\ln(1+x)} = \frac{tg\ 0}{\ln(1+0)} = \frac{0}{0}[/m]
Воспользуемся следствиями из 1 и 2 Замечательных пределов:
[m]\large \lim \limits_{z \to 0} \frac{tg\ z}{z} = 1[/m], [m]\large \lim \limits_{z \to 0}\frac{ln(1+z)}{z} = 1[/m]
[m]\large \lim \limits_{x \to 0} \frac{tg\ (3x)}{\ln(1+x)} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{tg\ (3x)}{3x} \cdot \frac{x}{\ln(1+x)} \cdot \frac{3x}{x} = 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3[/m]
5) [m]\large \lim \limits_{x \to 0} \frac{1-\cos 2x}{x \cdot \sin x} = \frac{1-\cos 0}{0 \cdot \sin 0} = \frac{0}{0}[/m]
Воспользуемся формулой cos 2x:
[m]\large 1 - \cos 2x = 1 - (1 - 2 \sin^2 x) = 2\sin^2 x[/m]
И 1 Замечательным пределом: [m]\large \lim \limits_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = 1[/m]
[m]\large \lim \limits_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{x \cdot \sin x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{2\sin x}{x} = 2[/m]
6) [m]\large \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{e^{2x} - e^{3x}} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{e^{2x}(1 - e^{x})} = \frac{\sin 0}{e^{0}(1 - e^{0})} = \frac{0}{0}[/m]
Воспользуемся следствиями из 1 и 2 Замечательных пределов:
[m]\large \lim \limits_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = 1[/m], [m]\large \lim \limits_{z \to 0}\frac{e^{z} - 1}{z} = 1[/m]
[m]\large \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{-x}{e^{2x}(e^{x}-1)} \cdot \frac{3x}{-x} = 1 \cdot (-\frac{1}{e^0})(\frac{3}{-1})= 3[/m]
7) [m]\large \lim \limits_{x \to 7} (\frac{1}{x-7} + \frac{14}{49-x^2}) = \lim \limits_{x \to 7} (\frac{1}{x-7} - \frac{14}{x^2-49}) =[/m]
[m]\large = \frac{1}{0} - \frac{14}{0} = \infty - \infty[/m]
Приводим к общему знаменателю и складываем дроби:
[m]\large \lim \limits_{x \to 7} (\frac{1}{x-7} - \frac{14}{(x-7)(x+7)}) = [/m]
[m]\large = \lim \limits_{x \to 7} (\frac{x+7}{(x-7)(x+7)} - \frac{14}{(x-7)(x+7)}) =[/m]
[m]\large = \lim \limits_{x \to 7} \frac{x+7-14}{(x-7)(x+7)} = \lim \limits_{x \to 7} \frac{1}{x+7} = \frac{1}{14}[/m]
8) [m]\large \lim \limits_{x \to \infty} (\frac{x-3}{x+1})^{x+1} = \lim \limits_{x \to \infty} (\frac{x+1-4}{x+1})^{x+1} = [/m]
[m]\large =\lim \limits_{x \to \infty} (1 - \frac{4}{x+1})^{x+1} = (1 + \frac{-4}{\infty})^{\infty} = 1^{\infty}[/m]
Воспользуемся 2 Замечательным пределом в общем виде:
[m]\large \lim \limits_{z \to \infty} (1 + \frac{k}{z})^{z} = e^{kz}[/m]
[m]\large \lim \limits_{x+1 \to \infty} (1 + \frac{-4}{x+1})^{x+1} = e^{-4} = \frac{1}{e^4}[/m]