Задача 80419 Помогите с решением log_(x^(2 -...
Условие
log_(x^(2 - x))(log_(x^(2 + x))(x)) >= 0
Решение
Область определения для функции логарифма:
{ x > 0
{ x^(2-x) ≠ 1
{ x^(2+x) ≠ 1
Отсюда получаем:
{ x > 0
{ x ≠ 1
{ 2 - x ≠ 0
{ 2 + x ≠ 0
Область определения:
x ∈ (0; 1) U (1; 2) U (2; +oo)
Для решения неравенства воспользуемся формулой:
[m]\large \log_{a} (b) = \frac{\log_{c} (b)}{\log_{c} (a)}[/m]
Причем новое основание с может быть каким угодно, лишь бы соблюдались правила: c > 0, c ≠ 1.
Возьмём, например, новое основание 10:
[m]\large \log_{x^{2-x}} (\log_{x^{2+x}}(x)) = \log_{x^{2-x}} (\frac{\lg x}{\lg x^{2+x}}) =[/m]
[m]\large = \log_{x^{2-x}} (\frac{\lg x}{(2+x)\lg x}) = \log_{x^{2-x}} \frac{1}{2+x} = [/m]
[m]\large = -\log_{x^{2-x}} (2+x) = -\frac{\lg (2 + x)}{\lg (x^{2 - x})} = -\frac{\lg (2 + x)}{(2 - x) \lg (x)}[/m]
Получили неравенство:
[m]\large -\frac{\lg (2 + x)}{(2 - x) \lg (x)} >= 0[/m]
[m]\large \frac{\lg (2 + x)}{(2 - x) \lg (x)} <= 0[/m]
Так как x > 0, то 2 + x > 2, а lg (2 + x) > 0
Если дробь <= 0 и числитель > 0, то знаменатель < 0.
[m]\large (2 - x) \lg (x) < 0[/m]
Если x > 2, то 2 - x < 0, а lg (x) > 0 - подходит.
Если x ∈ (0; 1), то 2 - x > 0, а lg (x) < 0 - подходит.
Если x ∈ (1; 2), то 2 - x > 0 и lg (x) > 0 - не подходит.
Ответ: x ∈ (0; 1) U (2; +oo)