Задача 80416 1. Сколько граней у треугольной...
Условие
Ответ: ___________________________
2. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а высота — 10.
Ответ: ___________________________
3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина, SO = 4 см, SC = 5 см. Найдите длину отрезка AC.
Ответ: ___________________________
II часть
Решение заданий 4–5 может иметь краткую запись без обоснования.
4. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая грань — квадрат.
5. Высота правильной четырехугольной пирамиды 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если двугранный угол при основании равен 45°.
III часть
Решение 6 задания должно иметь обоснование, необходимо записать последовательные логические действия и объяснения.
6. Высота правильной треугольной пирамиды равна 2 см, радиус окружности, описанной около ее основания, 4 см.
Найдите: а) апофему пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение
2) Боковая поверхность 6-угольной призмы - это 6 прямоугольников с основанием 3 см и высотой 10 см.
S(бок) = 6*3*10 = 180 см^2
3) Треугольник OCS - прямоугольный.
Катет SO = 4 см, гипотенуза SC = 5 см.
Это египетский треугольник (3, 4, 5).
Катет OC = 3 см, диагональ AC = 2*OC = 6 см.
4) Основание призмы - прямоугольный треугольник с катетами
a = 10 см и b = 24 см. Значит, его гипотенуза c = 26 см.
Так как наибольшая грань призмы - квадрат, то высота
H = с = 26 см
Площадь боковой поверхности:
S(бок) = (a+b+c)*H = (10+24+26)*26 = 60*26 = 1560 см^2
5) Смотрите рисунок 1.
Угол при вершине показан красной дугой.
Если ASC = 45°, то OSC = 45°/2 = 22,5°
Высота H = OS = 4 см
OC = OS*tg OSC = 4*tg 22,5°
Надеюсь, вы знаете, что такое тригонометрия.
Иначе я не знаю, как это решить.
Тангенс можно узнать из формулы тангенса половинного угла:
[m]\large tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}[/m]
[m]\large tg \frac{45}{2} = \frac{\sin 45}{1 + \cos 45} = \frac{\sqrt{2}}{2} : (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} : \frac{2 + \sqrt{2}}{2} =[/m]
[m]\large = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1 ≈ 0,414[/m]
[m]\large OC = 4(\sqrt{2} - 1) ≈ 1,657[/m]
[m]\large AC = 2 \cdot OC = 8(\sqrt{2} - 1) ≈ 3,3137[/m]
[m]\large AB = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{8(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2}} = \frac{3,3137}{1,414} ≈ 2,3431[/m]
Площадь основания:
[m]\large S_{(осн)} = AB^2 = 16(2 - \sqrt{2})^2 ≈ 5,49[/m]
Найдём высоту боковой грани h = SM, показана синим.
[m]\large OM = \frac{AB}{2} = \frac{4(2 - \sqrt{2})}{2} = 2(2 - \sqrt{2}) ≈ 1,1716[/m]
Из прямоугольного треугольника OSM по теореме Пифагора:
[m]\large SM^2 = OS^2 + OM^2 = 4^2 + (2(2 - \sqrt{2}))^2 ≈ [/m]
[m]\large ≈ 16 + 1,1716^2 ≈ 16 + 1,3726 = 17,3726[/m]
[m]\large SM = \sqrt{40 - 16\sqrt{2}} ≈ \sqrt{17,3726} ≈ 4,168[/m]
Площадь боковой грани:
[m]\large S(BCS) = BC \cdot \frac{SM}{2} = 2,3431 \cdot \frac{4,168}{2} ≈ 4,883 [/m]
Площадь боковой поверхности - это 4 треугольника ABS.
[m]\large S_{(бок)} = 4 \cdot S(BCS) = 4 \cdot 4,883 = 19,532[/m]
Площадь полной поверхности:
[m]\large S = S_{(осн)} + S_{(бок)}≈ 5,49+ 19,532 = 25,022[/m]
5 задача явно недооценена, она очень сложная.
6) Дана правильная треугольная пирамида ABCS.
В ее основании лежит равносторонний треугольник ABC.
Высота пирамиды H = OS = 2 см, радиус описанной окружности вокруг основания R = 4 см.
Сторону основания через радиус описанной окружности можно узнать из формулы:
a = AB = R*sqrt(3) = 4sqrt(3) см
Радиус описанной окружности:
R = OA = OB = OC
Центр треугольника О делит медианы в отношении 2:1 от вершины.
OM = OA/2 = R/2 = 4/2 = 2 см
а) Апофема SM показана синим. Из треугольника OSM по теореме Пифагора:
SM^2 = OM^2 + OS^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8
SM = sqrt(8) = 2sqrt(2) см.
б) Площадь боковой грани:
S(ABS) = AB*SM/2 = 4sqrt(3)*2sqrt(2)/2 = 4sqrt(6) см^2
Площадь боковой поверхности - это 3 таких грани:
S(бок) = 3*S(ABS) = 3*4sqrt(6) = 12sqrt(6) см^2