Задача 80413 Діагональ правильної чотирикутної призми...

68e92d722723c2578435a614

10/10/2025 4:00:32 PM

Діагональ правильної чотирикутної призми (тобто призми зі квадратною основою) дорівнює 6 см і нахилена до площини основи під кутом 60 градусів. Знайдіть 1)площу бічної поверхні призми. 2)площу діагонального перерізу.

68501b46d00c766c9c688611

10/10/2025 4:01:56 PM

★

Нехай

a – сторона квадратної основи призми,
h – її висота,
d = 6 см – просторова діагональ (АC′),
φ = 60° – кут між діагоналлю та площиною основи.

1. Зв’язок між a, h і d

Просторова діагональ має проекцію на площину основи, а саме діагональ квадрата АС довжини a√2.
Кут між прямою і площиною дорівнює куту між цією прямою та її проекцією, тому

cos φ = (довжина проекції)/(довжина прямої) = AC / AC′ = a√2 / d.

cos 60° = 1/2, отже

a√2 / 6 = 1/2 ⇒ a = 6·1/(2√2) = 3/√2 = 3√2 / 2 (см).

Висота можна знайти через синус того ж кута (або з теореми Піфагора):

h = d sin φ = 6·sin 60° = 6·√3/2 = 3√3 см.

(Перевірка: d² = 2a² + h² = 2·(9/2) + 27 = 9 + 27 = 36 – правильно.)

2. Площа бічної поверхні

Периметр основи P = 4a.
Отже

S_біч = P·h = 4a·h = 4·(3/√2)·3√3
    = 6√2 · 3√3 = 18√6 см².

3. Діагональний переріз призми

Діагональний переріз – це переріз площиною, що проходить через діагональ основи й паралельна бічним ребрам; у прямій призмі він є прямокутником зі сторонами:

• діагональ основи AC = a√2,
• висота h.

Тому

S_перерізу = AC · h = a√2 · h
     = (3/√2 · √2) · 3√3 = 3 · 3√3 = 9√3 см².

Відповідь:
1) 18√6 см²;
2) 9√3 см².