Задача 80368 ...
Условие
а) √x+1 = 1-x
б) 9^x - 7·3^x - 18 = 0
в) log₂(2x+3) = 3
г) √x² + 17 = 3
3. Решите неравенство:
а) 4^x + 2^x - 20 > 0
б) log₂ (x-3) + log₂ (9-x) ≥ -3
4. Найдите значение выражения:
2sin(π/6) - √3sin(3π/2 - π/3) + sin(π/4) + π/6
5. Вычислить:
cos a, tg a, ctg a, если sin a = -2/5 и π < a < 3π/2
Решение
а) √x + 1 = 1 – x
Область допустимых значений (ОДЗ): x ≥ 0.
√x = –x. Левая часть неотрицательна, значит –x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0.
Совместно с x ≥ 0 получаем единственное значение х = 0.
Проверка: √0 + 1 = 1 = 1 – 0.
Ответ: x = 0.
б) 9^x – 7·3^x – 18 = 0
Подставим t = 3^x (t > 0): t² – 7t – 18 = 0
t₁ = 9, t₂ = –2 (не удовлетворяет t > 0).
3^x = 9 ⇒ x = 2.
Ответ: x = 2.
в) log₂(2x + 3) = 3
ОДЗ: 2x + 3 > 0 ⇒ x > –1,5.
2x + 3 = 2³ = 8 ⇒ 2x = 5 ⇒ x = 5/2.
Ответ: x = 5/2.
г) √x² + 17 = 3
√x² = |x|, поэтому получаем |x| + 17 = 3 ⇒ |x| = –14.
Невозможно, решений нет.
Ответ: корней нет.
──────────────────────────────────────────────
3. Решение неравенств
а) 4^x + 2^x – 20 > 0
Положим t = 2^x (t > 0): t² + t – 20 > 0 ⇒ (t + 5)(t – 4) > 0.
Для t > 0 неравенство выполняется при t > 4.
2^x > 4 ⇒ x > 2.
Ответ: x > 2.
б) log₂(x – 3) + log₂(9 – x) ≥ –3
ОДЗ: 3 < x < 9.
log₂[(x – 3)(9 – x)] ≥ –3 ⇒ (x – 3)(9 – x) ≥ 2^–3 = 1/8.
f(x) = (x – 3)(9 – x) = –(x – 6)² + 18.
f(x) ≥ 1/8 ⇔ –(x – 6)² + 18 ≥ 1/8
(x – 6)² ≤ 143/8 ≈ 17.875.
В интервале (3; 9) это условие выполняется для всех x, потому что (x – 6)² ≤ 9 < 17.875.
Таким образом 3 < x < 9.
Ответ: 3 < x < 9.
──────────────────────────────────────────────
4. Значение выражения
2 sin(π/6) – √3 sin(3π/2 – π/3) + sin(π/4) + π/6
= 2·½ – √3·(–½) + √2/2 + π/6
= 1 + √3/2 + √2/2 + π/6.
──────────────────────────────────────────────
5. Найти cos a, tg a, ctg a, если sin a = –2/5 и π < a < 3π/2
В III четверти sin a < 0, cos a < 0.
cos a = –√(1 – sin²a) = –√(1 – 4/25) = –√(21/25) = –√21 / 5.
tg a = sin a / cos a = (–2/5)/(–√21/5) = 2/√21 = 2√21/21.
ctg a = 1 / tg a = √21 / 2.
Ответ:
cos a = –√21/5, tg a = 2√21/21, ctg a = √21/2.