Задача 80367 ...
Условие
Б) (5/8)^4 * (8/5)^(-1) + 397^0
2. Решите уравнение:
а) √(1-x) = x+1
б) 4^x + 2^x - 20 = 0
в) log_2(2x-1)=2
г) ∛(x^2 - 17) = 2
3. Решите неравенство:
а) 9^x - 7·3^x - 18 < 0
б) log_10((10-x)) + log_10(x-3) ≥ -1
4. Найдите значение выражения:
2sin(π/6) - √3sin(π/3)ctg(π/4)lg(π/6)
5. Вычислить:
sin a, tg a, ctg a, если cos a = -3/5
и π/2 < a < π
Решение
1. Вычислить числовые выражения
А) (1/27 · 125 – 1)^–3/2
1) Внутри скобок: 1/27 · 125 = 125/27.
2) 125/27 – 1 = (125 – 27)/27 = 98/27.
3) (98/27)^–3/2 = (27/98)^(3/2).
27 = 3³, 98 = 2·7² ⇒
(27/98)^(3/2)=3^(9/2)/(2^(3/2)·7³)= (3⁴√3)/(2√2·343)= (81/686)√(3/2).
Ответ: (27/98)^(3/2) = (81/686)√(3/2) ≈ 0,144.
Б) (5/8)^4 · (8/5)^–1 + 397^0
(8/5)^–1 = 5/8, поэтому (5/8)^4·(5/8)=(5/8)^5 = 3125/32768.
397^0 = 1.
Сумма: 1 + 3125/32768 = 35893/32768 ≈ 1,0953.
Ответ: 1 + (5/8)^5 = 35893/32768.
2. Решить уравнения
a) √(1 – x) = x + 1
Область: –1 ≤ x ≤ 1.
Квадрат: 1 – x = (x + 1)² ⇒ x² + 3x = 0 ⇒ x(x + 3)=0.
x = 0 (допустимо), x = –3 (не входит в ОДЗ).
Ответ: x = 0.
б) 4^x + 2^x – 20 = 0
Пусть t = 2^x (t > 0). Тогда t² + t – 20 = 0.
t = 4 (t = –5 отбрасывается).
2^x = 4 ⇒ x = 2.
Ответ: x = 2.
в) log₂(2x – 1) = 2
2x – 1 = 2² = 4 ⇒ 2x = 5 ⇒ x = 2,5.
Ответ: x = 2,5.
г) ∛(x² – 17) = 2
x² – 17 = 8 ⇒ x² = 25 ⇒ x = ±5.
Ответ: x = –5; 5.
3. Решить неравенства
а) 9^x – 7·3^x – 18 < 0
t = 3^x > 0 ⇒ t² – 7t – 18 < 0.
Корни t₁ = –2, t₂ = 9.
Т.к. парабола вверх, отрицательна на (–2, 9). С учётом t > 0: 0 < t < 9 ⇒ x < 2.
Ответ: x < 2.
б) log₁₀(10 – x) + log₁₀(x – 3) ≥ –1
ОДЗ: 3 < x < 10.
Применяем свойство логарифма:
log₁₀[(10 – x)(x – 3)] ≥ –1 ⇒ (10 – x)(x – 3) ≥ 10^–1 = 0,1.
(10 – x)(x – 3) = –x² + 13x – 30.
–x² + 13x – 30 ≥ 0,1 ⇒ x² – 13x + 30,1 ≤ 0.
D = 48,6 ⇒ √D ≈ 6,971.
Корни: x₁ ≈ 3,0145; x₂ ≈ 9,9855.
Так как ветви вверх (после умножения на –1 знак неравенства изменили) – берём промежуток между корнями и пересекаем с ОДЗ:
Ответ: 3,0145… ≤ x ≤ 9,9855…
Точно: x ∈ [(13 – √48,6)/2 ; (13 + √48,6)/2].
4. Найти значение выражения
2 sin(π/6) – √3 sin(π/3) ctg(π/4) lg(π/6)
sin(π/6)=1/2; sin(π/3)=√3/2; ctg(π/4)=1.
⇒ 2·½ – √3·(√3/2)·1·lg(π/6)
= 1 – (3/2)·lg(π/6).
Численно: π/6 ≈ 0,523598 ⇒ lg(π/6) ≈ –0,281.
Значение ≈ 1 – 1,5·(–0,281) ≈ 1,422.
Ответ: 1 – (3/2) lg(π/6) ≈ 1,42.
5. Найти sin a, tg a, ctg a, если cos a = –3/5 и π/2 < a < π
cos²a = 9/25 ⇒ sin a = √(1 – 9/25) = √(16/25) = 4/5 (положительный, т.к. II четверть).
tg a = sin a / cos a = (4/5) / (–3/5) = –4/3.
ctg a = 1/tg a = –3/4.
Ответ: sin a = 4/5; tg a = –4/3; ctg a = –3/4.