Задача 80352 ...
Условие
Решение
Начало правильное, нужно взять первую производную.
F(x) = 1/3*x^3 - 1/2*x^2 - 12x + 15
F'(x) = 1/3*3x^2 - 1/2*2x - 12 = x^2 - x - 12
Теперь приравняем ее к нулю и найдем экстремумы.
x^2 - x - 12 = 0
D = (-1)^2 - 4*1(-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2
x1 = (1 - 7)/2 = -6/2 = -3
x2 = (1 + 7)/2 = 8/2 = 4
Но чтобы найти максимум и минимум, не нужна вторая производная F''(x).
Нужно подставить точки перед и после экстремумов и смотреть знак F'(x).
F'(x) = x^2 - x - 12
x1 = -3, x2 = 4
Берем точки -4 и -2, расположенные перед и после -3:
F'(-4) = (-4)^2 - (-4) - 12 = 16 + 4 - 12 = 8 > 0 - функция возрастает.
F'(-2) = (-2)^2 - (-2) - 12 = 4 + 2 - 12 = -6 < 0 - функция убывает.
Если F(x) слева от экстремума возрастает, а справа убывает, то это максимум.
Берем точки -2 и 5, расположенные перед и после 4.
Мы можем взять снова -2, потому что на отрезке [-3; 4] ничего не меняется:
F'(-2) = (-2)^2 - (-2) - 12 = 4 + 2 - 12 = -6 < 0 - функция убывает.
F'(5) = 5^2 - 5 - 12 = 25 - 5 - 12 = 8 > 0 - функция возрастает.
Если F(x) слева от экстремума убывает, а справа возрастает, то это минимум.
Значит, интересующая нас точка минимума: x = 4
Можно и значение функции в этой точке найти:
F(4) = 1/3*4^3 - 1/2*4^2 - 12*4 + 15 = 1/3*64 - 1/2*16 - 48 + 15 = -39 2/3
Ответ: x = 4.
Все решения
1. Сначала ищем экстремумы функции — это такие точки, где функция достигает максимума или минимума. Для этого нужно приравнять первую производную к нулю:
F'(x) = 0
2. Считаем производную:
F'(x) = d/dx[(1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 12x + 15]
Получается: F'(x) = x^2 - x - 12
3. Теперь решаем уравнение x^2 - x - 12 = 0, чтобы найти критические точки:
a = 1, b = -1, c = -12
Дискриминант: D = (-1)^2 - 4*1*(-12) = 1 + 48 = 49
x1 = (1 + 7)/2 = 4
x2 = (1 - 7)/2 = -3
4. Чтобы понять, где у нас минимум, а где максимум, считаем вторую производную:
F''(x) = d/dx[x^2 - x - 12] = 2x - 1
5. Подставляем наши x:
F''(4) = 2*4 - 1 = 7 (>0), значит, при x = 4 — минимум.
F''(-3) = 2*(-3) - 1 = -7 (<0), значит, при x = -3 — максимум.
6. Итог:
При x = 4 функция достигает минимума.
При x = -3 функция достигает максимума.
(В общем, всё довольно стандартно: нашли производную, приравняли к нулю, нашли точки, проверили их второй производной — и готово!)