Задача 80315 21) Маленький незаряженный шарик,...
Условие
Решение
При малых угловых отклонениях простой маятник под действием силы тяжести m g совершает гармонические колебания с период
T₀ = 2π √(L / g). (1)
Электрическое поле пластины.
Бесконечно большая (по сравнению с длиной нити) плоская пластина с поверхностной плотностью заряда +σ создаёт однородное электрическое поле
E = σ /(2ε₀) (2)
направленное перпендикулярно к пластине – вверх (от положительно-заряжённой поверхности).
Когда шарик незаряжен, сила F = qE отсутствует, и его движение определяется только гравитацией (формула (1)).
Шарику сообщён отрицательный заряд –q (q > 0).
На шарик действует дополнительная постоянная электрическая сила
Fₑ = (–q) E (3)
Она направлена вниз, т.е. в ту же сторону, что и тяжесть.
Полная постоянная сила, действующая вдоль вертикали:
F = m g + qE. (4)
Эта сила эквивалентна «усиленной» тяжести с эффективным ускорением
g′ = g + qE / m ( > g ). (5)
Уравнение малых угловых колебаний.
Для малого угла θ: m L θ¨ = – (m g + qE) θ L ,
откуда собственная угловая частота маятника
ω = √[ (g + qE / m) / L ]. (6)
Период заряженного маятника
T = 2π √[ L / ( g + qE / m ) ]. (7)
Сравнение с (1): так как g′ > g, знаменатель под корнем больше, а сам корень меньше; следовательно,
T < T₀.
Вывод.
При сообщении шарику отрицательного заряда к силе тяжести добавляется направленная вниз электрическая сила, что увеличивает «эффективное» ускорение и тем самым уменьшает период его малых свободных колебаний. Чем больше заряд ‑q, тем сильнее уменьшение периода.