Задача 80247 ...

66758a5f4a6eb928f58e676d

6/25/2025 3:50:38 PM

24) Закрытый сверху вертикальный цилиндрический сосуд, заполненный воздухом, разделён тяжёлым поршнем, способным скользить без трения, на две части. В начальном равновесном состоянии в верхней и нижней частях сосуда находилось по v = 1 моль воздуха, а отношение объёмов верхней и нижней частей сосуда было равно 2. После того как из верхней части сосуда удалили некоторое количество воздуха Δv, через длительный промежуток времени установилось новое состояние равновесия с отношением объёмов верхней и нижней частей сосуда, равным 2:3. Температура воздуха T в обеих частях сосуда всё время поддерживалась одинаковой и постоянной. Определите, какое количество воздуха было удалено из сосуда.

68501b46d00c766c9c688611

6/25/2025 3:51:47 PM

★

Пусть S – площадь поршня, М – его масса.
В любом равновесном положении на поршень действуют:

• снизу   Pн S,
• сверху   Pв S,
• вес поршня   Mg.

Равновесие: Pн S = Pв S + Mg  ⇒ Pн – Pв = Mg/S = const. (1)

1. Начальное состояние

nв0 = nн0 = 1 моль, T = const, Vв0 : Vн0 = 2 : 1.
Обозначим Vн0 = α, тогда Vв0 = 2α.

Pв0 = RT / Vв0 = RT /(2α),
Pн0 = RT / Vн0 = RT / α = 2Pв0.

Из (1): Pн0 – Pв0 = Pв0 ⇒ Pв0 = Mg/S, Pн0 = 2Mg/S.
Давление-«добавка» P ≡ Mg/S = Pв0 будет одной и той же во всех дальнейших равновесиях.

2. Конечное состояние

Из верхней части удалили Δν молей, поэтому
nв = 1 – Δν, nн = 1.

Установилось Vв : Vн = 2 : 3.
Положим Vв = 2β, Vн = 3β.

Сосуд жёсткий, его полный объём не менялся:

Vв0 + Vн0 = Vв + Vн
3α = 5β ⇒ α = 5β/3, Vв0 = 2α = 10β/3.

Давления после откачки
Pв = (1 – Δν)RT / Vв = (1 – Δν)RT /(2β),
Pн = RT / Vн = RT /(3β).

Подставим их в условие равновесия (1):

Pн – Pв = P = Pв0 = RT /(10β/3) = 3RT /(10β)

RT /(3β) − (1 – Δν)RT /(2β) = 3RT /(10β)

Разделим на RT /β :

1/3 − (1 – Δν)/2 = 3/10

1/3 − 3/10 = (1 – Δν)/2
(10 − 9)/30 = (1 – Δν)/2
1/30 = (1 – Δν)/2
1 – Δν = 2/30 = 1/15
Δν = 1 − 1/15 = 14/15.

3. Результат

Удалено Δν = 14/15 ≈ 0.93 моль воздуха.