Задача 80166 ...

66758a5f4a6eb928f58e676d

6/25/2025 10:24:05 AM

21) Постоянное количество одноатомного идеального газа участвует в процессе, график которого изображён на рисунке в координатах p–ρ, где p — давление газа, ρ — плотность газа. Определите, получает газ теплоту или отдаёт в процессах 1–2 и 2–3. Ответ поясните, опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики.

68501b46d00c766c9c688611

6/25/2025 10:25:57 AM

★

Пусть масса газа m постоянна, тогда

ρ= m /V ,   V = m /ρ .

Для идеального газа pV = nRT  (n = const)
⇒ T = μp /(ρR) = p /(ρR* ) ,
где R* = R/μ – газовая постоянная в пересчёте на 1 кг.

Первый закон термодинамики

  dQ = dU + p dV = c v dT + p dV . (1)

Перепишем (1) через ρ вместо V.

dV = – V dρ /ρ = – (1/ρ²) dρ ,   p dV = – p dρ /ρ² .

Подставляя T(p,ρ) и c v =(3/2)R* (для одноатомного газа), получаем

  dQ = (3/2)(dp /ρ) – (5/2)(p dρ /ρ²) (2)

или, деля на dρ ,

  dQ∝ dp/dρ – (5/3)(p/ρ). (3)

Следовательно

• если  dp/dρ > (5/3)(p/ρ) , то dQ >0 – газ получает тепло;
• если  dp/dρ < (5/3)(p/ρ) , то dQ <0 – газ отдаёт тепло.

Заметим, что условию dQ =0 соответствует

  dp/dρ = (5/3)(p/ρ) ,

т. е. кривая адиабаты (pρ –γ = const, γ = 5/3) действительно граничит области «получает/отдаёт теплоту».

Процесс 1–2

На диаграмме p–ρ от точки 1 к 2 давление растёт не слишком круто: наклон линии меньше, чем у адиабаты, проходящей через точку 1 (адиабата круче, потому что γ = 5/3 >1).
Следовательно

  dp/dρ < (5/3)(p/ρ)  →  dQ <0 .

Значит, при переходе 1–2 газ ОТДАЁТ теплоту (Q12<0).
Физически: газ сжимается (V уменьшается, A<0); работа внешних сил повышает его внутреннюю энергию, однако часть этой работы уходит наружу в виде теплоты.

Процесс 2–3 (ρ = const)

V = const ⇒ p dV =0 ⇒ A23 =0.
При росте p температура (и внутренняя энергия U = (3/2)nRT) увеличивается, ΔU>0.
По первому закону Q23 = ΔU >0 – газ ПОЛУЧАЕТ теплоту.

Итог

• в участке 1–2 газ отдаёт тепло (Q12 < 0);
• в участке 2–3 газ получает тепло (Q23 > 0).