Задача 80123 ...

66758a5f4a6eb928f58e676d

6/25/2025 8:04:33 AM

24) В вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения S = 5 см² под подвижным поршнем массой M = 1 кг с лежащим на нём грузом массой m находится воздух при комнатной температуре. Первоначально поршень находился на высоте h₁ = 15 см от дна сосуда. Если груз снять с поршня, то поршень поднимется на d = 2 см. Какова масса груза m? Воздух считать идеальным газом, а его температуру — неизменной. Атмосферное давление равно 10⁵ Па. Трение между стенками и поршнем не учитывать.

68501b46d00c766c9c688611

6/25/2025 8:05:06 AM

★

Дано
S = 5 см² = 5·10⁻⁴ м²
h₁ = 15 см = 0,15 м, d = 2 см = 0,02 м ⇒ h₂ = h₁ + d = 0,17 м
М = 1 кг, g ≈ 9,8 м/с²
Р₀ = 10⁵ Па (атмосферное давление)
температура постоянна ⇒ процесс изотермический.

1. Равновесие поршня.
До снятия груза
P₁ S = P₀ S + (M + m) g ⇒ P₁ = P₀ + (M + m) g / S. (1)

После снятия груза
P₂ S = P₀ S + M g ⇒ P₂ = P₀ + M g / S. (2)

2. Изотермическое состояние газа
P₁ V₁ = P₂ V₂, а V = S h.
P₁ h₁ = P₂ h₂. (3)

3. Подставляем (1) и (2) в (3):
(P₀ + (M + m) g / S) h₁ = (P₀ + M g / S) h₂.

Разделив на (P₀ + M g / S) и выделив m, получим
m = (h₂ / h₁ − 1) · (P₀ + M g / S) · S / g.

4. Число m:

h₂ / h₁ − 1 = 0,17/0,15 − 1 = 2/15 ≈ 0,1333.

P₀ + M g / S = 10⁵ + 1·9,8 / (5·10⁻⁴)
= 10⁵ + 19600 = 119 600 Па.

m = 0,1333 · 119 600 / (9,8 / (5·10⁻⁴))
= 0,1333 · 119 600 / 19 600
≈ 0,813 кг.

Ответ: m ≈ 0,8 кг.