Задача 80030 ...

66758a5f4a6eb928f58e676d

6/24/2025 10:07:27 AM

24) Влажный воздух с относительной влажностью φ находится в вертикальном гладком цилиндрическом сосуде под невесомым поршнем с площадью S. На поршень медленно насыпают песок. Какую массу песка m нужно насыпать, чтобы на стенках сосуда начала появляться роса? Температура влажного воздуха в сосуде поддерживается постоянной. Снаружи сосуда давление воздуха равно нормальному атмосферному давлению p₀.

68501b46d00c766c9c688611

6/24/2025 10:17:33 AM

★

Пусть температура Т воздуха в сосуде поддерживается постоянной
( следовательно, давление насыщенного водяного пара p нас = const ).

1. Начальные параметры
Общее давление воздуха в сосуде p₀ (равно атмосферному),
частичное давление водяного пара
pᵥ₀ = φ p нас (φ – относительная влажность).

2. Что происходит при насыпании песка
Поршень невесом; после насыпки песка массой m условие равновесия

p S = p₀ S + m g, (1)

где p – новое общее давление смеси в сосуде.

До появления росы количество (а значит, и молевая доля) водяного
пара остаётся неизменной, поэтому для идеального газа его
частичное давление растёт пропорционально общему:

pᵥ = pᵥ₀ · p / p₀. (2)

3. Условие начала конденсации
Роса появится, когда pᵥ достигнет p нас :

pᵥ = p нас. (3)

Подставляя (2) и pᵥ₀ = φ p нас в (3):

φ p нас · p / p₀ = p нас ⇒ p = p₀ / φ. (4)

4. Искомая масса песка
Из (1) и (4):

p₀ / φ · S = p₀ S + m g
⇒ m = S (p₀ / φ − p₀)/g = S p₀ (1/φ − 1)/g. (5)

Ответ

m = (S p₀ / g) (1 / φ − 1).

Если воздух был уже насыщенным (φ = 1), то m = 0 – роса появляется
немедленно.