Задача 80014 ...

66758a5f4a6eb928f58e676d

6/24/2025 8:29:21 AM

26) Пластилиновый шарик в момент t = 0 бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью v₀ = 12 м/с под углом α = 60° к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. Через какое время после столкновения шариков они упадут на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

68501b46d00c766c9c688611

6/24/2025 8:45:26 AM

★

Дано
v₀ = 12 м/с, α = 60°, m₁ = m₂ = m, g = 9,8 м/с².
Пусть вверх – положительное направление, t = 0 – момент начала движения.

1. Полёты до столкновения

Шарик 1 (брошенный с земли)
v₀x = v₀cosα = 12·0,5 = 6 м/с, v₀y = v₀sinα = 12·√3/2 ≈ 10,39 м/с.
h₁(t) = v₀y t – ½gt².

Шарик 2 (роняют из покоя с высоты H)
h₂(t) = H – ½gt², v₂x = 0, v₂y = –gt.

2. Условие «горизонтальной» скорости сразу после удара

После абсолютно неупругого удара оба шарика движутся вместе.
За очень малое время столкновения внешняя сила тяжести практически
не меняет импульс системы ⇒ импульс сохраняется.

а) По вертикали
(mv₁y + mv₂y) = 0 (после удара вертикальной скорости нет)
⇒ v₁y + v₂y = 0
⇒ (v₀y – gt_c) + (–gt_c) = 0
⇒ v₀y = 2gt_c
t_c = v₀y/(2g) = 10,39/(2·9,8) ≈ 0,53 c.

б) По горизонтали
mv₁x = (2m) V_x
⇒ 6m = 2m V_x ⇒ V_x = 3 м/с.

3. Высота столкновения

h_c = h₁(t_c) = v₀y t_c – ½ g t_c²
= 10,39·0,53 – ½·9,8·0,53² ≈ 5,51 – 1,38 ≈ 4,13 м.

4. Падение после столкновения

Сразу после удара вертикальная скорость нулевая, поэтому последующее движение – свободное падение с начальной высоты h_c:

t_пад = √(2h_c/g) = √(2·4,13/9,8) ≈ √0,84 ≈ 0,92 c.

Ответ: приблизительно 0,9 с после столкновения.

Обоснование применяемых законов

• До и после удара движение шара описывается уравнениями равноускоренного движения, так как сопротивлением воздуха пренебрегаем, а ускорение свободного падения постоянно.

• Во время удара силы взаимодействия шариков велики, а время соударения мало, поэтому импульс внешней силы тяжести (mgt_удара) ничтожен по сравнению с импульсами шариков; следовательно, для системы из двух шариков выполняется закон сохранения импульса.

• Поскольку удар абсолютно неупругий, после него шарики движутся совместно; это даёт связь между их импульсами до удара и единой скоростью после удара.