Задача 79948 y''-5y'+6y=xe ^ 2x. Написать форму...
Условие
Решение
Неоднородное линейное уравнение.
Соответствующее однородное уравнение:
y'' - 5y' + 6y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 5k + 6 = 0
(k - 2)(k - 3) = 0
k1 = 2; k2 = 3
Решение однородного уравнения:
y(o) = C1*e^(2x) + C2*e^(3x)
Частное решение неоднородного уравнения:
y(н) = (Ax + B)*e^(2x)
Но, так как в общем решении тоже есть e^(2x), то:
y(н) = x(Ax + B)*e^(2x)
y(н) = (Ax^2 + Bx)*e^(2x)
y'(н) = (2Ax + B)*e^(2x) + (Ax^2 + Bx)*2e^(2x)
y'(н) = (2Ax^2 + 2Ax + 2Bx + B)*e^(2x)
y''(н) = (4Ax + 2A)*e^(2x) + (2Ax^2 + 2Ax + 2Bx + B)*2e^(2x)
y''(н) = (4Ax^2 + 8Ax + 4Bx + 2A + 2B)*e^(2x)
Подставляем всё это в наше уравнение:
(4Ax^2 + 8Ax + 4Bx + 2A + 2B)*e^(2x) - 5(2Ax^2 + 2Ax + 2Bx + B)*e^(2x) +
+ 6(Ax^2 + Bx)*e^(2x) = x*e^(2x)
Делим на e^(2x) слева и справа:
4Ax^2 + 8Ax + 4Bx + 2A + 2B - 10Ax^2 - 10Ax - 10Bx - 5B +
+ 6Ax^2 + 6Bx = x
Приводим подобные и запишем правую часть в полном виде::
- 2Ax + 2A - 3B = 1x + 0
Составляем систему по степеням x:
{ -2A = 1
{ 2A - 3B = 0
Решаем:
{ A = -1/2
{ -1 = 3B
Получаем:
{ A = -1/2
{ B = -1/3
Подставляем в частное решение неоднородного уравнения y(н):
y(н) = (Ax^2 + Bx)*e^(2x)
y(н) = (-1/2*x^2 - 1/3*x)*e^(2x)
Общее решение неоднородного уравнения:
y(x) = y(o) + y(н) = y(o) = C1*e^(2x) + C2*e^(3x) + (-1/2*x^2 - 1/3*x)*e^(2x)