Задача 79931 ...

67c09afa11b2e53c13344d3c

5/25/2025 9:48:50 PM

Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.
z = 10 + x^2 + 2y^2, y = x, x = 1, y ≥ 0,

5f282cfba9074b3a3bc0f013

5/26/2025 8:30:38 AM

★

Нужно найти объём под поверхностью z = 10 + x² + 2y² над областью в плоскости Oxy, заданной неравенствами 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 (так как y = x и x = 1 при y ≥ 0 задают треугольную область с вершинами (0,0), (1,0), (1,1)).

Тогда искомый объём V вычисляется по двойному интегралу:

V = ∫_(x=0→1) ∫_(y=0→x) [10 + x² + 2y²] dy dx.

1) Сначала вычислим внутренний интеграл по y:

∫_(y=0→x) [10 + x² + 2y²] dy
= ∫_(0→x) 10 dy + ∫_(0→x) x² dy + ∫(0→x) 2y² dy
= 10y ∣(0→x) + x² y ∣(0→x) + 2·(y³/3) ∣(0→x)
= 10x + x³ + 2·(x³/3)
= 10x + x³ + (2/3)x³
= 10x + (5/3)x³.

2) Подставим результат во внешний интеграл по x:

V = ∫_(x=0→1) [10x + (5/3)x³] dx
= ∫_(0→1) 10x dx + ∫_(0→1) (5/3)x³ dx.

• Первый интеграл:
∫_(0→1) 10x dx = 10 × (x²/2) ∣(0→1) = 10 × 1/2 = 5.

• Второй интеграл:
(5/3) ∫_(0→1) x³ dx = (5/3) × (1/4) = 5/12.

V = 5 + 5/12 = 60/12 + 5/12 = 65/12.

Ответ: объём тела равен 65/12.