Задача 79930 Нужно решить задачу, номер 4...
Условие
Решение
а) [m]\large z = \sin (xy) - \frac{1}{x^3} + \ln y[/m]
Напишем функцию чуть по-другому:
[m]\large z = \sin (xy) - x^{-3} + \ln y[/m]
Частные производные 1 порядка:
[m]\large \frac{dz}{dx} = \cos (xy) \cdot y + (-3) x^{-4} = y \cos (xy) -\frac{3}{x^4}[/m]
[m]\large \frac{dz}{dy} = \cos (xy) \cdot x + \frac{1}{y} = x \cos (xy) + \frac{1}{y}[/m]
б) [m]\large z = \frac{ctg\ (x^4)}{\sqrt[3]{y}}[/m]
Напишем функцию чуть по-другому:
[m]\large z = ctg\ (x^4) \cdot y^{-1/3}[/m]
Частные производные 1 порядка:
[m]\large \frac{dz}{dx} = -\frac{1}{\sin^2 (x^4)} \cdot 4x^3 \cdot y^{-1/3} = -\frac{4x^3}{\sin^2 (x^4) \sqrt[3]{y}}[/m]
[m]\large \frac{dz}{dy} = ctg\ (x^4) \cdot (-\frac{1}{3}) y^{-4/3} = -\frac{ctg\ (x^4)}{3\sqrt[3]{y^4}}[/m]
в) [m]\large z = (1 + 2^{x})^{\sqrt{y}}[/m]
Частные производные 1 порядка:
[m]\large \frac{dz}{dx} = \sqrt{y} \cdot (1 + 2^{x})^{\sqrt{y}-1} \cdot 2^{x} \cdot \ln 2 = \ln 2 \cdot \sqrt{y} \cdot 2^{x} (1 + 2^{x})^{\sqrt{y}-1}[/m]
[m]\large \frac{dz}{dy} = (1 + 2^{x})^{\sqrt{y}} \cdot \ln (1 + 2^{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = (1 + 2^{x})^{\sqrt{y}} \cdot \frac{\ln (1 + 2^{x})}{2\sqrt{y}}[/m]