Задача 79927 Задание на картинке. Найти площадь...
Условие
Решение
x² – 2x – 3 = x – 3.
Перенесём всё в одну сторону:
x² – 2x – 3 – (x – 3) = 0
⇒ x² – 3x = 0
⇒ x(x – 3) = 0,
откуда x = 0 или x = 3. Подставляя в любую исходную функцию, получаем соответствующие значения y = –3 (при x = 0) и y = 0 (при x = 3).
Далее, чтобы найти площадь фигуры между этими кривыми на отрезке [0; 3], вычитаем нижнюю функцию (парабола) из верхней (прямая) и берём интеграл:
S = ∫(x=0 до 3) [ (x – 3) – (x² – 2x – 3 ) ] dx.
Упростим подынтегральное выражение:
(x – 3) – (x² – 2x – 3) = –x² + 3x.
Тогда:
S = ∫(0 до 3) (–x² + 3x) dx
= ∫(0 до 3) (–x²) dx + ∫(0 до 3) 3x dx
= [ –x³/3 ]₀³ + [ 3x²/2 ]₀³
= ( –27/3 ) + ( 3·9/2 )
= –9 + 27/2
= (–18 + 27)/2 = 9/2.
Итого искомая площадь равна 9/2.