Задача 79914 Вычислить с помощью двойного интеграла...
Условие
xy=9, y=x, y=6
Решение
• Пересечение xy = 9 и y = x:
Подставим y = x в xy = 9, получим x·x = 9, откуда x = 3 (учитываем положительное решение), значит точка (3, 3).
• Пересечение xy = 9 и y = 6:
Подставим y = 6 в xy = 9, тогда x·6 = 9 ⇒ x = 3/2, значит точка (3/2, 6).
• Пересечение y = x и y = 6 даёт x = 6 ⇒ точка (6, 6).
Итак, граничными точками области являются (3, 3), (3/2, 6) и (6, 6), а сама область D замкнута дугой гиперболы xy = 9 от (3, 3) до (3/2, 6), горизонтальной прямой y = 6 от (3/2, 6) до (6, 6) и наклонной прямой y = x от (6, 6) до (3, 3).
2) Удобно описать область D в координатах следующим образом. Заметим, что:
– При фиксированном y, левая граница области задаётся гиперболой x = 9/y.
– Правая граница области задаётся прямой x = y.
– Из точек пересечения видно, что y изменяется от 3 до 6.
Отсюда область D можно задать так:
D = { (x, y) : 3 ≤ y ≤ 6, 9/y ≤ x ≤ y }.
3) Площадь области D равна двукратному интегралу
S = ∫∫(D) 1 dx dy.
Используя найденное описание области (сначала «идём» по x, затем по y), получаем
S = ∫(y=3 to 6) ∫(x=9/y to x=y) 1 dx dy.
4) Вычислим внутренний интеграл по x:
∫(x=9/y to x=y) 1 dx = y - 9/y.
Тогда остаётся одномерный интеграл по y:
S = ∫(y=3 to 6) (y - 9/y) dy.
5) Вычисляем:
∫(y - 9/y) dy = ∫y dy - 9∫(1/y) dy = (y²/2) - 9 ln y.
Подставляя пределы 3 и 6, получаем
S = [y²/2 - 9 ln y] (от y=3 до y=6)
= ((6²)/2 - 9 ln 6) - ((3²)/2 - 9 ln 3)
= (18 - 9 ln 6) - (4.5 - 9 ln 3)
= 18 - 4.5 - 9 ln 6 + 9 ln 3
= 13.5 - 9 (ln 6 - ln 3)
= 13.5 - 9 ln(6/3)
= 13.5 - 9 ln 2.
Таким образом, площадь искомой области равна:
S = 13.5 - 9 ln(2)