Задача 79871 Вычислить площадь фигуры, ограниченной...

672457a75a00e67c51d40736

5/14/2025 9:30:40 AM

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy=2, x+y=3

5f282cfba9074b3a3bc0f013

5/14/2025 10:43:53 AM

★

Найдём точки пересечения заданных кривых. Из уравнения прямой
x + y = 3
получаем y = 3 – x. Подставляя это в уравнение гиперболы xy = 2, имеем
x(3 – x) = 2 ⟹ 3x – x² = 2 ⟹ x² – 3x + 2 = 0 ⟹ (x–1)(x–2) = 0.
Значит, x = 1 или x = 2. Соответственно, y равны 2 и 1.

Таким образом, фигура расположена при x ∈ [1, 2], а при каждом x значения y меняются от гиперболы y = 2/x до прямой y = 3 – x. Тогда площадь S области можно вычислить интегрированием «по x» разности между верхней и нижней функциями:

S = ∫(x=1..2) [ (3 – x) – (2/x ) ] dx.

Выполнив по отдельности:

1) ∫(1..2)(3 – x) dx = [3x – x²/2] (x=1..2)
= (3·2 – 2²/2) – (3·1 – 1²/2)
= (6 – 2) – (3 – 0,5)
= 4 – 2,5 = 1,5.

2) ∫(1..2)(2/x) dx = 2 ∫(1..2)(1/x) dx = 2 [ln x](1..2) = 2 ln(2).

Таким образом,

S = (1,5) – (2 ln(2)) = 3/2 – 2 ln(2).

Ответ: 3/2 – 2 ln(2)