Задача 79868 дано правильная треугольная пирамида...
Условие
Решение
• Площадь основания.
Основание ― правильный (равносторонний) треугольник со стороной a = 6 см.
Его площадь:
S₀ = (√3 / 4) ⋅ a² = (√3 / 4) ⋅ 6² = 9√3 (см²).
• Площадь боковой поверхности.
Для правильной пирамиды боковая поверхность состоит из равных равнобедренных треугольников. Площадь каждого такого треугольника можно вычислить как (1/2) ⋅ (сторона основания) ⋅ (апофема).
Однако проще сразу воспользоваться формулой
S_bok = (1/2) ⋅ P ⋅ l,
где P = периметр основания, l = апофема (высота боковой грани).
Поскольку a = 6, периметр основания P = 3a = 18.
По условию апофема l = 10.
Тогда
S_bok = (1/2) ⋅ 18 ⋅ 10 = 90 (см²).
• Полная площадь поверхности:
S = S₀ + S_bok = 9√3 + 90 (см²).
2. Объём пирамиды V
Формула объёма правильной пирамиды:
V = (1/3) ⋅ S₀ ⋅ H,
где S₀ ― площадь основания, H = 8 см ― высота пирамиды (расстояние от вершины до плоскости основания).
Подставляя численные значения, получаем:
V = (1/3) ⋅ 9√3 ⋅ 8 = 24√3 (см³).
Ответ:
• Полная площадь поверхности: S = 9√3 + 90 (см²).
• Объём: V = 24√3 (см³).
Все решения
Дано:
- Ребро основания (a) = 6 см
- Апофема (h_a) = 10 см
- Высота пирамиды (h) = 8 см
Найти:
1. Объём (V)
2. Площадь поверхности (S)
1. Объём (V)
Формула для объёма правильной треугольной пирамиды:
V = (1/3) * S_b * h,
где S_b — площадь основания.
Площадь основания (правильный треугольник) вычисляется по формуле:
S_b = (√3 / 4) * a^2.
Подставим значение a:
S_b = (√3 / 4) * (6^2) = (√3 / 4) * 36 = 9√3 см².
Теперь подставим S_b в формулу для объёма:
V = (1/3) * (9√3) * 8 = 24√3 см³.
2. Площадь поверхности (S)
Площадь поверхности включает площадь основания и площадь боковых граней.
Площадь одной боковой грани:
S_bк = (1/2) * a * h_a.
Подставим значения a и h_a:
S_bк = (1/2) * 6 * 10 = 30 см².
Площадь трёх боковых граней:
S_бок = 3 * S_bк = 3 * 30 = 90 см².
Теперь находим общую площадь поверхности:
S = S_b + S_бок = 9√3 + 90 см².
Ответ:
- Объём (V) = 24√3 см³
- Площадь поверхности (S) = 9√3 + 90 см²
Если нужно приближённое значение:
- V ≈ 24 * 1.732 ≈ 41.568 см³
- S ≈ 9 * 1.732 + 90 ≈ 15.588 + 90 ≈ 105.588 см².