Задача 79863 двугранный угол равен 60 градусов. на...

65cb87d2971eb9679f8f7dcd

2/13/2024 3:17:15 PM

двугранный угол равен 60 градусов. на одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние 9 от плоскости другой грани. найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

5f282cfba9074b3a3bc0f013

5/14/2025 11:01:41 AM

★

Рассмотрим ребро двугранного угла как ось z, а грани – как две плоскости, обе содержащие эту ось. Удобно выбрать декартову систему координат таким образом:

• Ось z совпадает с линией пересечения плоскостей.
• Одна грань (плоскость A) задаётся уравнением x = 0 (то есть yz‐плоскость). Её нормаль nₐ = (1, 0, 0).
• Вторая грань (плоскость B) образует с первой угол 60°, значит угол между нормалями этих плоскостей тоже 60. Выберем нормаль n_b = (cos 60°, sin 60°, 0) = (1/2, √3/2, 0).
Удобнее взять целочисленные коэффициенты в уравнении плоскости B, умножив нормаль на 2: тогда n_b = (1, √3, 0), и уравнение плоскости B будет
x + √3·y = 0.

Пусть точка P лежит на плоскости A, значит её координаты имеют вид P(0, y, z). Расстояние от P до плоскости B определяется формулой
d = |n_b ⋅ OP + D| / ‖n_b‖,
где D – свободный член в уравнении плоскости (в данном случае D = 0), а ‖n_b‖ – длина вектора нормали. Здесь
n_b = (1, √3, 0), ‖n_b‖ = √(1² + (√3)²) = √4 = 2,
n_b ⋅ OP = 1·0 + √3·y + 0·z = √3·y.

Условие «точка удалена от плоскости B на 9» означает:
|√3·y| / 2 = 9 ⇒ |√3·y| = 18 ⇒ |y| = 18 / √3 = 6√3.

Наконец, расстояние от точки P(0, y, z) до оси z (то есть до ребра двугранного угла) равно длине перпендикуляра к этой оси. Поскольку ось z задаётся уравнениями x = 0, y = 0, расстояние есть просто
ρ = √((0 - 0)² + (y - 0)²) = |y| = 6√3.

Ответ: 6√3.

6518464ef2c01b1b41753cc6

2/13/2024 3:56:34 PM

9/sin60